1 . 如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线的两条渐近线分别为，圆与双曲线相交于点A，B（点B，A分别位于平面直角坐标系的第一、二象限），且双曲线的虚轴长为2，离心率

(1)求双曲线的标准方程：
(2)直线AB与两渐近线，分别交于M，N两点，若MON的面积为，求直线AB的斜率．

2 . 已知双曲线的一条渐近线的方程为，且右焦点到的距离为1．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点为直线上一点，倾斜角为的直线与双曲线的右支交于，两点，且为等边三角形，求直线在轴上的截距．

3 . 已知，如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点，为曲线所在圆锥曲线的焦点，点，为曲线所在圆锥曲线的焦点

(1)若，，求曲线的方程；
(2)如图，作直线l平行于曲线的渐近线，交曲线于不同两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程.

4 . 已知为双曲线左右焦点，，且该双曲线一条渐近线的斜率为，点M和N是双曲线上关于x轴对称的两个点，为双曲线左右顶点．
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)设和交点为P，则的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

6 . 已知双曲线C的中心在原点，是它的一个顶点，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证:为定值.

7 . 求双曲线的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图.

8 . 求双曲线的焦点到其渐近线的距离.

9 . 求双曲线上任意一点M到两条渐近线的距离的乘积、并把结论推广到一般的双曲线．

10 . 求与双曲线有公共渐近线，且焦距为8的双曲线方程．