1 . 已知，双曲线，椭圆，与的离心率之积为.
(1)求的渐近线方程；
(2)设M，N分别是的两条渐近线上的动点，且，若O是坐标原点，，求动点P的轨迹方程，并指出它是什么曲线.

2 . 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，求直线的方程.

3 . （1）求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程及两条渐近线的夹角；
（2）若双曲线中心在原点，一条渐近线方程为，实轴长为8，求双曲线方程.

4 . 已知双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线上任意一点，且过点的直线与双曲线的渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.

5 . 求双曲线的离心率、渐近线方程．

6 . 已知双曲线，直线过双曲线的右焦点且交右支于两点，点为线段的中点，点在轴上，．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若，求直线的方程．

7 . 已知双曲线的两条渐近线分别为，.
(1)求双曲线的离心率；
(2)为坐标原点，过双曲线上一点作直线分别交直线，于，两点（，分别在第一、第四象限），且，求的面积.

8 . 已知双曲线：（，）上一点到的两条渐近线的距离之积为．

(1)求的标准方程；
(2)若直线与有两个不同的交点，，且的内心恒在直线上，求在轴上的截距的取值范围．

9 . 已知离心率为的双曲线C与椭圆的焦点相同.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)求双曲线C的焦点到渐近线的距离.

10 . 如图，椭圆、双曲线中都是坐标原点O，焦点都在x轴上，且具有相同的顶点、，的焦点为、，的焦点为、，点、、O、、恰为线段的六等分点，我们把与合成为曲线，已知的长轴长为4.
   
(1)求曲线与的方程；
(2)若M是上的一动点，为定点，求的最小值；
(3)若直线l过点O，与交于、两点，与交于、两点，点、位于同一象限，且直线，求直线l的斜率.