1 . 已知双曲线
的渐近线方程为
，
的半焦距为
，且
．
(1)求的标准方程．
(2)若
为上的一点，且为圆
外一点，过作圆的两条切线
（斜率都存在），
与交于另一点
与交于另一点
，证明：
（ⅰ）的斜率之积为定值；
（ⅱ）存在定点
，使得
关于点对称．
的渐近线方程为，的半焦距为，且．(1)求
的标准方程．(2)若
为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线（斜率都存在），与交于另一点与交于另一点，证明：（ⅰ）
的斜率之积为定值；（ⅱ）存在定点
，使得关于点对称．
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解题方法
2 . 已知椭圆C：
（
）的离心率为
，过右焦点的直线l与椭圆C交于M，N两点，且当
轴时，
．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l的斜率存在且不为0，点M，N在x轴上的射影分别为P，Q，且
，N，P三点共线，设
与
的面积分别为
，
，试判断
是否为定值，若是，求出该定值，如果不是，请说明理由．
（）的离心率为，过右焦点的直线l与椭圆C交于M，N两点，且当轴时，．(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l的斜率存在且不为0，点M，N在x轴上的射影分别为P，Q，且
，N，P三点共线，设与的面积分别为，，试判断是否为定值，若是，求出该定值，如果不是，请说明理由．
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3 . 已知A，B分别为双曲线
的左，右顶点，四点
中恰有三点在双曲线E上．若P为直线
上的动点，
与E的另一交点为
与E的另一交点为D．
(1)求双曲线E的方程；
(2)若
，求直线
的方程；
(3)过点B作
于点Q，是否存在定点G，使得
为定值．
的左，右顶点，四点中恰有三点在双曲线E上．若P为直线上的动点，与E的另一交点为与E的另一交点为D．(1)求双曲线E的方程；
(2)若
，求直线的方程；(3)过点B作
于点Q，是否存在定点G，使得为定值．
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4 . 已知O为坐标原点，椭圆C：
的上、下顶点为A、B，椭圆上的点P位于第二象限，直线PA、PB、PO的斜率分别为
，且
.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过原点O分别作直线PA、PB的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次连接构成一个四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.
的上、下顶点为A、B，椭圆上的点P位于第二象限，直线PA、PB、PO的斜率分别为，且.(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过原点O分别作直线PA、PB的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次连接构成一个四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.
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5 . 如图，已知椭圆
和抛物线
，
的焦点
是
的上顶点，过的直线交于
、两点，连接
、
并延长之，分别交于、
两点，连接
，设
、
的面积分别为
、
．
的值；
(2)求
的值；
(3)求
的取值范围.
和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设、的面积分别为、．
的值；(2)求
的值；(3)求
的取值范围.
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2024-05-06更新
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535次组卷
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2卷引用：上海市闵行区2024届高三下学期学业质量调研（二模）数学试卷
名校
解题方法
6 . 已知抛物线
与椭圆
有公共的焦点.
的标准方程.
(2)如图，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于点
，点
，直线AP，BP分别与抛物线交于点
.证明：
①直线CD过定点；
②
与
的面积之比为定值.
与椭圆有公共的焦点.
的标准方程.(2)如图，过抛物线
的焦点的直线与抛物线交于点，点，直线AP，BP分别与抛物线交于点.证明：①直线CD过定点；
②
与的面积之比为定值.
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7 . 已知椭圆
的长轴长为4，左、右顶点分别为
，上、下顶点分别为
，四边形
的内切圆的半径为
，过椭圆上一点T引圆的两条切线（切线斜率存在且不为0），分别交椭圆于点P，Q．
(1)求椭圆的方程；
(2)试探究直线
与
的斜率之积是否为定值，并说明理由；
(3)记点O为坐标原点，求证：P，O，Q三点共线．
的长轴长为4，左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，四边形的内切圆的半径为，过椭圆上一点T引圆的两条切线（切线斜率存在且不为0），分别交椭圆于点P，Q．(1)求椭圆
的方程；(2)试探究直线
与的斜率之积是否为定值，并说明理由；(3)记点O为坐标原点，求证：P，O，Q三点共线．
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解题方法
8 . 在平面直角坐标系
中，一动圆经过点
且与直线
相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线
，是曲线上一点．
(1)求曲线的方程；
(2)过点且斜率为
的直线
与曲线交于，两点，若
且直线
与直线交于
点，求
的值．
中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线，是曲线上一点．(1)求曲线
的方程；(2)过点
且斜率为的直线与曲线交于，两点，若且直线与直线交于点，求的值．
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2024·全国·模拟预测
9 . 已知抛物线的方程为
，把该抛物线整体平移，使其顶点与坐标原点
重合，平移后的抛物线记作．
(1)写出平移过程，并求抛物线的标准方程；
(2)已知
是抛物线的内接三角形（点在直线的下方），过
作抛物线的切线交于点，再过作抛物线的切线分别交
于点
，记，
的面积分别为
，证明
为定值．
，把该抛物线整体平移，使其顶点与坐标原点重合，平移后的抛物线记作．(1)写出平移过程，并求抛物线
的标准方程；(2)已知
是抛物线的内接三角形（点在直线的下方），过作抛物线的切线交于点，再过作抛物线的切线分别交于点，记，的面积分别为，证明为定值．
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10 . 已知抛物线:
的焦点，直线过且交C于两点
，已知当
时，
中点纵坐标的值为
.
(1)求的标准方程.
(2)令
，P为C上的一点，直线
，
分别交C于另两点A，B.证明：
.
(3)过
分别作的切线
， 
与相交于
，同时与
相交于
，求四边形
面积取值范围.
:的焦点，直线过且交C于两点，已知当时，中点纵坐标的值为.(1)求
的标准方程.(2)令
，P为C上的一点，直线，分别交C于另两点A，B.证明：.(3)过
分别作的切线， 与相交于，同时与相交于，求四边形面积取值范围.
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