1 . 已知函数．
(1)当时，直接写出的单调区间（不要求证明），并求出的值域；
(2)设函数，若对任意，总有，使得，求实数的取值范围．

2 . 对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数.
(1)分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）：
①；
②.
(2)若为阶梯函数，求的所有可能取值；
(3)已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有.若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为；若时，证明：存在，使得在上有4046个零点，且.

3 . 设函数．
(1)请指出函数的定义域、周期性；（不必证明）
(2)请以正弦函数的性质为依据，并运用函数的单调性定义证明：在区间上单调递减．

4 . 若点在函数的图象上，且满足，则称是的点. 函数的所有点构成的集合称为的集.
(1)判断是否是函数的点，并说明理由；
(2)若函数，求的集；
(3)若定义域为的连续函数的集是实数集的真子集，求证：.

5 . 对于函数（），若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”．
(1)求证：，是“函数”；
(2)若函数是“函数”，求的取值范围；
(3)对于定义域为的函数，．函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格函数”．若，，求的值

6 . 已知函数的表达式为.
(1)求函数的定义域，并写出函数的值域；
(2)证明函数为偶函数，并写出函数的最小正周期和单调增区间.

8 . 定义在上的函数，对任意的，恒有，且时，有
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)若，且对，都有恒成立.求的取值范围：
(3)若，函数在有五个不同的零点，求实数的取值范围.

9 . 已知，对任意，都有，.
(1)求的值；
(2)证明；
(3)若的最大值为8，求的解析式.

10 . 已知函数是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)当时，
①判断的单调性（不要求证明）；
②对任意实数x，不等式恒成立，求正整数m的最小值．