1 . 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点.

(1)证明：平面.
(2)求点到平面的距离.

2 . 如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点.

(1)求证：直线平面；
(2)若正方体棱长为1，过三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积.

3 . 如图，在四棱锥中，在线段上（不含端点），底面.

(1)证明：平面平面.
(2)设，请写出三棱锥的体积关于的函数表达式，并求出的最大值.

4 . 如图，在四面体中，，，为的中点，为上一点.

   

(1)求证：平面平面BDF；
(2)若，，.
（ⅰ）求二面角的余弦值；
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

5 . 如图，已知正方体的棱长为.

(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.

6 . 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．

(1)证明，是直角三角形；
(2)若，，求直线AB与平面所成角的正弦值．

7 . 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面；

8 . 已知正四棱柱中，，，点分别是棱的中点，过三点的截面为．

(1)作出截面（保留作图痕迹）；
(2)设截面与平面交于直线，且截面把该正四棱柱分割成两部分，记体积分别为．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求的值．

9 . 如图，已知等腰梯形ABCD中（图1），是BC的中点，，将沿着AE翻折（图2），使得直线AB与CD不在同一个平面，得到四棱锥

(1)求直线与所成的角的大小；
(2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

10 . 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，N，M分别为AB，的中点，且．

(1)证明：平面．
(2)证明：平面平面．
(3)若，求二面角的正切值．