1 . 已知数列中，， ，其中 ．
从①数列的前项和 ，② ，③且，这三个条件中一个，补充在上面的问题中并作答.
注：若选作多个条件分别解答，按第一个解答计分.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求证：数列 是等差数列；
(3)设数列 ，求数列的通项公式及前20项和 ．

3 . 对于项数为m的数列{a_n}，若满足：1≤a₁＜a₂＜⋯＜a_m，且对任意1≤i≤j≤m，a_ia_j与中至少有一个是{a_n}中的项，则称{a_n}具有性质P．
(1)分别判断数列1，3，9和数列2，4，8是否具有性质P，并说明理由；
(2)如果数列a₁，a₂，a₃，a₄具有性质P，求证：a₁＝1，a₄＝a₂a₃；
(3)如果数列{a_n}具有性质P，且项数为大于等于5的奇数．判断{a_n}是否为等比数列？并说明理由．

5 . 数列的前n项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的k个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列，当时，时，；
(1)若集合，求当时，的值；
(2)若集合，证明：时集合的与时集合的（为了以示区别，用表示）有关系式，其中；
(3)对于（2）中集合．定义，求（用n表示）．

6 . 对于数列，若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为数列．
(1)首项为1，公比为的等比数列是否为数列？请说明理由；
(2)设是数列的前项和，若数列是数列，那么数列是否为数列？若是，请说明理由；若不是，请举出一个例子；
(3)若数列，都是数列，求证：数列是数列．

7 . 已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．

8 . 已知项数为的有穷数列满足如下两个性质，则称数列具有性质P；
①；
②对任意的、，与至少有一个是数列中的项．
(1)分别判断数列、、、和、、、是否具有性质，并说明理由；
(2)若数列具有性质，求证：；
(3)若数列具有性质，且不是等比数列，求的值．

9 . 若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”．
(1)已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断，是否为“等比源数列”，并说明理由；
(2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由；
(3)已知数列为单调递增的等差数列，且，，求证：为“等比源数列”．