1 . 设{a_n}是首项为1的等比数列，数列{b_n}满足b_n＝，已知a₁，3a₂，9a₃成等差数列．
(1)求{a_n}和{b_n}的通项公式；
(2)记S_n和T_n分别为{a_n}和{b_n}的前n项和．证明：T_n＜．
(3)求证：

2 . 记的内角所对的边分别为，已知.
(1)求证：
(2)若的面积，求的最大值，并证明：当取最大值时，为直角三角形.

3 . 已知数列中，，，.设.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设数列的前项的和为，求.
(3)设，设数列的前项和，求证：.

4 . 已知数列的首项，．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且，，成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．

5 . 已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，最小值记为，令   ，并将数列称为的“生成数列”．
(1)若，求数列的前项和；
(2)设数列的“生成数列”为，求证：；
(3)若是等比数列，证明：存在正整数，当时，   是等比数列．

6 . 记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(3)求证：对任意的，.

7 . 已知数列中，，.
(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)记，是数列的前n项和，求证：.

8 . 已知数列的首项为，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)设，记数列的前项和为，求，并证明：.

9 . 已知数列满足：
(1)求、、；
(2)将数列中下标为奇数的项依次取出，构成新数列，
①证明：是等差数列；
②设数列的前m项和为，求证：．

10 . 已知数列中，，（，）．设．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，记数列的前项和为．证明，．