2 . 已知定义在上的函数和.
(1)求证：；
(2)设在存在极值点，求实数的取值范围.

3 . 在平面直角坐标系中，已知动点、，点是线段的中点，且点在反比例函数的图象上，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若曲线与轴交于两点，点是直线上的动点，直线分别与曲线交于点(异于点)．求证：直线过定点．

4 . 在平面直角坐标系中，已知圆心为C的动圆过点，且在轴上截得的弦长为2，记C的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程，并说明E为何种曲线；
(2)已知及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为，且，求证：直线BD经过定点.

5 . 已知拋物线的方程为.
(1)求过点且与抛物线只有一个公共点的直线的方程；
(2)已知直线过焦点，且与抛物线交于A，两点，点为该抛物线准线上一点，求证：

6 . 已知双曲线的左顶点，一条渐近线方程为．

(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线的右顶点为为直线上的动点，连接交双曲线于两点（异于），记直线与轴的交点为．
①求证：为定点；
②直线交直线于点，记．求证：为定值．

7 . 已知函数，且函数与有相同的极值点.
(1)求实数的值；
(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)求证：.

8 . 已知函数，.
(1)求证：函数存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间的长度的取值范围；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.

9 . 在平面直角坐标系中，已知抛物线：，为其焦点，点的坐标为，设为抛物线上异于顶点的动点，直线交抛物线于另一点，连接，并延长分别交抛物线于点.
(1)当轴时，求直线与轴交点的坐标;
(2)当直线的斜率存在且分别记为，时，求证：.

10 . 已知函数（）.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数的图象与x轴相切，求证：.