1 . 已知动点P到直线l：的距离比到定点的距离多1.
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)若A为（1）中曲线E上一点，过点A作直线l的垂线，垂足为C，过坐标原点O的直线OC交曲线E于另外一点B.证明：直线AB过定点，并求出定点坐标.

2 . 已知函数.
(1)求 在点处的切线方程;
(2)求证：当时，.

3 . 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为原点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)若动直线：(为参数）与抛物线交于两点，且直线的斜率与直线的斜率之和为2，证明：直线过定点.

4 . 已知抛物线上的点到焦点的距离为4．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若直线与抛物线交于，两点，且以线段为直径的圆过原点，求证直线恒过定点，并求出此定点的坐标．

5 . 已知函数，其中e为自然对数的底数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)证明：在上有两个零点.

6 . 已知椭圆：，A为椭圆与y轴交点，，为椭圆左、右焦点，为等腰直角三角形，且椭圆上的点到焦点的最短距离为
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆C交于，N两点，点，记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，当时，求证直线恒过一定点？

7 . 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点且斜率存在的直线交抛物线于不同的两点，设为坐标原点，直线的斜率分别为，求证：为定值．

8 . 已知是函数的一个极值点．
(1)证明：；
(2)讨论的单调性；
(3)若，的极大值为M，且对恒成立，求m的取值范围．

9 . 已知函数．
(1)若直线与曲线相切，求m的值；
(2)证明：（参考数据：）．

10 . 椭圆C：的左、右焦点分别为、，且椭圆C过点，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点是椭圆上任一点，那么椭圆在点M处的切线方程为．已知是（1）中椭圆C上除顶点之外的任一点，椭圆C在N点处的切线和过N点垂直于切线的直线分别与y轴交于点P、Q．求证：点P、N、Q、、在同一圆上．