1 . 已知函数在R上可导（其中是自然对数的底数）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当且时，证明：恒成立．

2 . 已知函数，，当时，恒成立．
(1)求实数的取值范围；
(2)若正实数、满足，证明：．

3 . 已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）记双曲线的左､右顶点分别为，，斜率为正的直线过点，交双曲线于点，(点在第一象限)，直线交轴于点，直线交轴于点，记面积为，面积为，求证：为定值.

4 . 已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）证明：当，恒成立.

5 . 设抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，O为坐标原点，已知，．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F作直线l交C于A，B两点，P为C上异于A，B的任意一点，直线分别与C的准线相交于D，E两点，证明：以线段为直径的圆经过x轴上的两个定点．

6 . 已知函数.
（1）设曲线在处的切线为，求证：；
（2）若关于的方程有两个实数根，，求证：.

7 . 已知函数，．
（1）曲线在处的切线方程；
（2）设函数．
①若在定义域上恒成立，求a的取值范围；
②若函数有两个极值点为，，证明：．

8 . 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，恒成立．

9 . 双曲线的中心在原点，焦点在轴上，且焦点到其渐近线的距离为2．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与其渐近线分别交于，（从左至右）两点．
①证明：；
②是否存在这样的直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

10 . 已知函数．
（1）设为的导函数，求在上的最小值；
（2）令，证明：当时，在上．