1 . 已知函数.
（1）当时，探究零点的个数；
（2）①证明：；
②当时，证明：.

2 . 已知函数，
求函数图象上一点处的切线方程．
若方程在内有两个不等实根，求实数a的取值范围为自然对数的底数．
求证，且

3 . 设函数.
（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；
（2）讨论函数零点的个数；
（3）若对任意恒成立，求的取值范围.

4 . 已知函数，不等式对恒成立．
（1）求函数的极值和函数的图象在点处的切线方程；
（2）求实数的取值的集合；
（3）设，函数，，其中为自然对数的底数，若关于的不等式至少有一个解，求的取值范围．

5 . 已知椭圆C：的离心率为，焦距为，A，B分别为椭圆C的上、下顶点，点M（t，2）（t≠0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线MA，MB与椭圆C的另一交点分别为P，Q，证明PQ过定点．

6 . 若对任意实数都有函数的图像与直线相切，则称函数为“恒切函数”，设函数，其中.
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知函数为“恒切函数”，
①求实数的取值范围；
②当取最大值时，若函数也为“恒切函数”，求证：.

7 . 已知.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有且仅有一个极值点，求函数的最小值；
(3)证明：（）.

8 . 已知函数，.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：函数有两个不相等的零点，，且.

9 . 已知椭圆： 的左顶点为，上顶点为，直线与直线垂直，垂足为点，且点是线段的中点．

（I）求椭圆的方程；
（II）如图，若直线：与椭圆交于，两点，点在椭圆上，且四边形为平行四边形，求证：四边形的面积为定值．

10 . 已知椭圆的离心率为，上顶点为，点在上，点，的最大面积等于.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于另一点，直线，分别与轴交于点，，试判断是否为定值.