1 . 已知函数，曲线在点处的切线的斜率为1，其中.
(1)求的值和的方程；
(2)证明：当时，.

2 . 已知函数，若点是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点，则点是函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为；
(1)若，求；
(2)若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程；
(3)若，记函数的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围．

3 . 在平面直角坐标系中，已知圆心为C的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．
(1)求E的方程，并说明E为何种曲线；
(2)已知及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为，，且，求证：直线BD经过定点．

4 . 已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若，求的值；
(3)求证：.

5 . 已知抛物线的焦点为F，为抛物线上一点，．

(1)求抛物线C的标准方程；
(2)已知点，点，过点A的直线与抛物线交于，两点，连接PB交抛物线于另一点T，证明：直线QT过定点，并求出定点坐标．

6 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：在上.

7 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在不相等的实数，使得，证明：．

8 . 已知函数．
(1)若，求函数的图象在处的切线方程；
(2)若对任意的恒成立，求a的取值范围；
(3)求证：，，

9 . 已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，在第一象限，直线与交于点.求证：点在定直线上.

10 . 在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线于点D．且,设直线QA，QD，QB的斜率分别为，，，若，证明：为定值．