1 . 已知抛物线的焦点为，抛物线的准线交轴于，，，为抛物线上三点（其中在第一象限），，．
（1）求的值；
（2）已知为坐标原点，李同学从条件①出发，而刘同学从条件②出发，若要使得两位同学探索得到相同的结果“直线过同一个定点”，试问如何设计实数的值．

2 . 设函数.
（1）若存在最大值，且，求实数的取值范围；
（2）令，，求证：对任意的，总存在最小值，且.

3 . 如图，已知椭圆上顶点为A，右焦点为F，直线与圆相切，其中.

（1）求椭圆的方程；
（2）不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，证明：动直线l过定点，并且求出该定点坐标.

4 . 已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点．
（Ⅰ）若垂直于轴，求直线的斜率；
（Ⅱ）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．

5 . 已知椭圆过点，，其上顶点到直线的距离为2，过点的直线与，轴的交点分别为、，且.

（1）证明：为定值；
（2）如上图所示，若，关于原点对称，，关于原点对称，且，求四边形面积的最大值.

6 . 已知定点，动点与、两点连线的斜率之积为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）已知点是轨迹上的动点，点在直线上，且满足（其中为坐标原点），求面积的最小值.

7 . 从抛物线上任意一点向轴作垂线段垂足为，点是线段上的一点，且满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设直线与轨迹交于两点，点为轨迹上异于的任意一点，直线分别与直线交于两点.问：轴正半轴上是否存在定点使得以为直径的圆过该定点？若存在，求出符合条件的定点坐标；若不存在，请说明理由.

8 . 已知函数f(x)＝x－lnx，g(x)＝x²－ax.
（1）求函数f(x)在区间[t，t＋1](t＞0)上的最小值m(t)；
（2）令h(x)＝g(x)－f(x)，A(x₁，h(x₁))，B(x₂，h(x₂))(x₁≠x₂)是函数h(x)图像上任意两点，且满足＞1，求实数a的取值范围；
（3）若∃x∈(0,1]，使f(x)≥成立，求实数a的最大值．

9 . 已知抛物线，直线与交于，两点，且.
（1）求的值；
（2）如图，过原点的直线与抛物线交于点，与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点，证明：直线过定点.

10 . 已知函数，（是的导函数），在上的最大值为.
（1）求实数的值；
（2）判断函数在内的极值点个数，并加以证明.