1 . 已知函数．
（1）恒成立，求a的取值范围；
（2）当时，求在区间的最小值；
（3）证明：当时，．

2 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交椭圆于点，直线与轴的交点为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点且斜率不为0的直线交椭圆于、点，线段的中点为点，求证：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．

3 . 已知函数．
（1）讨论函数的零点的个数；
（2）证明：．

4 . 已知O为坐标原点，椭圆C：，点D，M，N为C上的动点，O，M，N三点共线，直线DM，DN的斜率分别为，().
（1）证明：；
（2）当直线DM过点时，求的最小值；
（3）若，证明：为定值.

5 . 已知函数.
（1）证明：当时，；
（2）若在上单调递减，求实数的取值范围.

6 . 已知函数.
（1）当时，证明：有解；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

7 . 已知，分别为椭圆的左、右焦点，为的上顶点，，且的面积等于1.
（1）求的方程；
（2）若过点的直线交于另外一点，关于直线对称的直线为，交于另外一点（异于点），证明：直线过定点.

8 . 已知．
（1）设是的极值点，求实数的值，并求的单调区间；
（2）当时，求证：．

9 . 已知、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于左、右顶点、的任一点，当的面积最大值为时，为正三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设交直线于，交椭圆于．
（i）证明：为定值；
（ii）求面积的最大值．

10 . 已知函数.
（1）若有两个不同的极值点，，求实数的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：.