1 . 求证：方程与有一个公共实数根的充要条件是.

2 . 设函数，其中．
（1）时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，证明对，都有．

3 . 椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，直线的斜率为，的面积为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆上有两点M，N（异于椭圆顶点，且MN与x轴不垂直），证明：当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值．

4 . 已知直线，圆，椭圆的离心率，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等.
（1）求椭圆的方程；
（2）过圆上任意一点作椭圆的两条切线，若切线的斜率都存在，求证：两条切线斜率之积为定值.

5 . 如图，椭圆的离心率为，右焦点到相应准线的距离为1，点A， B，C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线交椭圆于点D，交x轴于点M（x₁，0），直线AC与直线BD交于点N（x₂，y₂）.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）求证：为定值.

6 . 阿基米德(公元前287年-公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家､物理学家，也是著名的数学家.他曾利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率乘以椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积在直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于不同的两点A，B.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求面积的最大值；
（3）设椭圆E的左､右顶点分别为P，Q，直线PA与直线交于点，试问B，Q，F三点是否共线？若共线，请证明；若不共线，请说明理由.

7 . 已知过圆C₁：x²+y²＝1上一点的切线，交坐标轴于A、B两点，且A、B恰好分别为椭圆C₂：（a＞b＞0）的上顶点和右顶点．
（1）求椭圆C₂的方程；
（2）已知P为椭圆的左顶点，过点P作直线PM、PN分别交椭圆于M、N两点，若直线MN过定点Q（﹣1，0），求证：PM⊥PN．

8 . 已知函数 ．
（1）若 ，求的极值；
（2）证明：当 时，．

9 . 已知椭圆的离心率，过右焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的左顶点，是椭圆上的不同两点（与不重合），直线 的斜率分别为，且，证明直线过一个定点，并求出这个定点的坐标.

10 . 已知函数，，其中是自然对数的底数．
(1)若有两个极值点，求实数的取值范围；
(2)若存在正数，使得对任意均有成立．
证明：（ⅰ）；
（ⅱ）．