1 . 已知椭圆：过点，点为其上顶点，且直线的斜率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为第四象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积是定值.

2 . 设函数，其中．
（1）时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，证明对，都有．

3 . 已知.
（1）当有两个零点时，求a的取值范围；
（2）当，时，设，求证：.

4 . 已知函数，.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求证：在定义域内有且只有一个零点；
（3）若存在，使得，求实数的取值范围.

5 . 已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）求证：对任意的，只有一个零点.

6 . 阿基米德(公元前287年-公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家､物理学家，也是著名的数学家.他曾利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率乘以椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积在直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于不同的两点A，B.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求面积的最大值；
（3）设椭圆E的左､右顶点分别为P，Q，直线PA与直线交于点，试问B，Q，F三点是否共线？若共线，请证明；若不共线，请说明理由.

7 . 已知椭圆的离心率，上顶点是，左､右焦点分别是，，若椭圆经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）点和是椭圆上的两个动点，点，，不共线，直线和的斜率分别是和，若，求证直线经过定点，并求出该定点的坐标.

8 . 已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为．
（1）求双曲线的方程；
（2）经过点的直线与双曲线的右支交于两点，与轴交于点，点关于原点的对称点为点，求证：．

9 . 已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与其右焦点的最短距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，，为椭圆上的3个动点，且的重心是，求证：的面积为定值，并求这个定值．

10 . 已知函数 ．
（1）若 ，求的极值；
（2）证明：当 时，．