1 . 已知函数，.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求证：在定义域内有且只有一个零点；
（3）若存在，使得，求实数的取值范围.

2 . 已知椭圆：过点，点为其上顶点，且直线的斜率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为第四象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积是定值.

3 . 直线为函数图象上任意一点处的切线(P为切点)，若函数图象上除P点外的所有点都在直线的同侧，则称函数为“单侧函数”.
（1）若.
（i）求在处的切线方程；
（ii）证明不是“单侧函数”；
（2）函数，判断是否是“单侧函数”.若是，写出证明过程；若不是，请说明理由，

4 . 已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）求证：对任意的，只有一个零点.

5 . 已知函数
（1）若函数有两个极值点，求实数的取值范围;
（2）若函数，当时，证明：

6 . 设函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若有两个零点，，求的取值范围，并证明：．

7 . 已知函数.
（1）讨论的极值情况；
（2）若时，，求证：.

8 . 试指出下列各组中，是的什么条件? 并证明（3）的结论．
（1），；
（2），；
（3） ， 关于的方程有两个实数解．

9 . 设抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，当在上时，直线的斜率为.
（1）求抛物线的方程；
（2）在线段上取点，满足，，证明：点总在定直线上.

10 . 过抛物线上一定点作两条直线分别交抛物线于，，
（1）若横坐标为的点到焦点的距离为1，求抛物线方程；
（2）若为抛物线的顶点，，试证明：过、两点的直线必过定点；
（3）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线的斜率是非零常数.