1 . 已知椭圆：的离心率为，长轴长为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆的左右顶点，为椭圆的上顶点，设M是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：为等腰三角形．

2 . 已知椭圆E：(a>b>0)的右焦点坐标为F ，过F的直线l交椭圆于A，B两点，当A与上顶点重合时，.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若点P，记直线PA，PB的斜率分别为，证明：为定值.

3 . 已知函数，.
(1)当时，设，求证：；
(2)若恰有两个零点，求的最小整数值.

4 . 已知函数（）.
(1)求函数的单调区间和最值；
(2)若，且，证明：.

5 . 1.在平面直角坐标系xOy中，已知点，点M满足.记M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)点T在直线x=4上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求证：为定值.

6 . 设抛物线的焦点为F，经过x轴正半轴上点M(m，0)的直线l交r于不同的两点A和B.
(1)若|FA|=3，求点A的坐标；
(2)若m=2，求证:原点O总在以线段AB为直径的圆的内部；
(3)若|FA|=|FM|，且直线，与抛物线有且只有一个公共点E，问:△OAE的面积是否存在最小值?若存在，求出最小值，并求出M点的坐标，若不存在，请说明理由.

7 . 已知抛物线：经过点.
（1）求抛物线的方程及其准线方程；
（2）设过点的直线与抛物线交于，两点，若，轴.垂足为，求证：.

8 . 已知且，函数.
(1)当时，设的导函数，求的单调区间；
(2)若函数恰有两个互异的零点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：.

9 . 在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为．记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，.交曲线于，两点，交曲线于，两点，线段的中点为，线段的中点为．证明：直线过定点，并求出该定点坐标．

10 . 已知抛物线C的顶点为原点，焦点F在x轴的正半轴上，直线交抛物线C于点A，交y轴于点B，且．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设点，动直线l交抛物线C于M，N两点N两点均不与点P重合，且满足，求证：直线MN恒过定点，并求出这个定点的坐标．