1 . 已知函数.
（1）若函数在上是增函数，求正数的取值范围；
（2）当时，设函数的图象与x轴的交点为，，曲线在，两点处的切线斜率分别为，，求证：+.

2 . 抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A、B两点．
Ⅰ若点，且直线AT，BT的斜率分别为，，求证：为定值；
Ⅱ设A、B两点在抛物线的准线上的射影分别为P、Q，线段PQ的中点为R，求证：．

3 . 已知函数，其中为正实数.
（1）若函数在处的切线斜率为2，求的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数有两个极值点，求证：

4 . 已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，点在椭圆上，O为坐标原点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值．

5 . 设函数.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，证明：.

6 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点也为抛物线：的焦点．
（1）若，为椭圆上两点，且线段的中点为，求直线的斜率；
（2）若过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，和，，设线段，的长分别为，，证明是定值．

7 . 已知函数的图象在处的切线过点.
（1）若函数，求的最大值（用表示）；
（2）若，证明：.

8 . 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线与直线垂直，椭圆经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作椭圆的两条互相垂直的弦．若弦的中点分别为，证明：直线恒过定点．

9 . 已知函数.
（1）当时，求证：若，则；
（2）当时，试讨论函数的零点个数.

10 . 设函数，曲线过点，且在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）证明：当时，；
（3）若当时，恒成立，求实数的取值范围.