1 . 设抛物线的焦点为，准线为，为过焦点且垂直于轴的抛物线的弦，已知以为直径的圆经过点.
（1）求的值及该圆的方程；
（2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：.

2 . 如图，已知抛物线，过焦点且斜率不为零的直线交抛物线于，两点，且与其准线交于点.

（1）若，求直线的方程；
（2）若点在抛物线上且.求证：对任意的直线，直线，，的斜率依次成等差数列.

3 . 已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）证明函数存在唯一的极大值点，且.

4 . 已知椭圆，焦距为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若一直线与椭圆相交于、两点（、不是椭圆的顶点），以为直径的圆过椭圆的上顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

5 . 函数.
（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；
（2）求证：，时，.

6 . 已知函数．
（1）若函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，其实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）上存在两个极值点x₁，x₂，证明：lnx₁+lnx₂＞2．

7 . 已知抛物线C：x²=−2py经过点（2，−1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

8 . 已知函数.
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当，时，，其中，证明：.

9 . 已知函数
讨论函数的单调性；
设，对任意的恒成立，求整数的最大值；
求证：当时，

10 . 已知函数.
（1）当时，设.讨论函数的单调性；
（2）证明当.