1 . 已知函数.
(1)当时，试讨论函数的单调增区间；
(2)设，在上不单调，且恒成立，求的取值范围（为自然对数的底数）；
(3)设，若存在两个极值点，且，求证：.

2 . 已知函数的图象在点处的切线为.
(1)求；
(2)求证：；
(3)已知，若对恒成立，求正实数的取值范围.

3 . 设函数，其中.
(1)当，时，求证：；
(2)若为的极值点，且，，求的值.

4 . 已知过点的动圆与直线相切，该动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于点，，过点且斜率为的直线与交于异于，的一点，证明：直线过定点.

5 . 已知且，函数.
(1)当时，设的导函数，求的单调区间；
(2)若函数恰有两个互异的零点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：.

6 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且C过点.点P，Q在C上，且直线PQ不与坐标轴垂直.
（1）求C的方程；
（2）若直线MP，MQ的斜率存在，分别记为，，证明：PQ过O点的充要条件是.

7 . 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，若的极大值点为，求证：.

9 . 已知函数(其中常数是自然对数的底数).
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)证明：对任意，当时，.

10 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，半焦距为1，以线段为直径的圆恰好过椭圆的上、下顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若关于直线对称的射线与分别与椭圆位于轴上方的部分交于，两点，求证：直线过轴上一定点.