名校
1 . n个有次序的实数
，
，…，
所组成的有序数组
称为一个n维向量，其中
称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量
，若
，称
为n维信号向量.设，
，则和
的内积定义为
，且
.
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(2)证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量；
(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量
，
，…，
满足它们的前m个分量都是相同的，求证：
.
，，…，所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量，若，称为n维信号向量.设，，则和的内积定义为，且.(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(2)证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量；
(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量
，，…，满足它们的前m个分量都是相同的，求证：.
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真题
名校
2 . 如图，已知曲线
，曲线
，P是平面上一点，若存在过点P的直线与
都有公共点，则称P为“C1—C2型点”．
(1)在正确证明
的左焦点是“C1—C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
(2)设直线
与
有公共点，求证
，进而证明原点不是“C1—C2型点”；
(3)求证：圆
内的点都不是“C1—C2型点”．
，曲线，P是平面上一点，若存在过点P的直线与都有公共点，则称P为“C1—C2型点”． (1)在正确证明
的左焦点是“C1—C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线
与有公共点，求证，进而证明原点不是“C1—C2型点”；(3)求证：圆
内的点都不是“C1—C2型点”．
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2019-01-30更新
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2082次组卷
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6卷引用：2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷）
3 . 已知
，
，直线l：
，动点P到l的距离为d，满足
，设点P的轨迹为C，过点F作直线
，交C于G，H两点，过点F作与垂直的直线
，直线l与交于点K，连接AG，AH，分别交直线l于M，N两点.
(1)求C的方程；
(2)证明：
；
(3)记
，
的面积分别为
，
，四边形AGKH的面积为
，求
的范围.
，，直线l：，动点P到l的距离为d，满足，设点P的轨迹为C，过点F作直线，交C于G，H两点，过点F作与垂直的直线，直线l与交于点K，连接AG，AH，分别交直线l于M，N两点.(1)求C的方程；
(2)证明：
；(3)记
，的面积分别为，，四边形AGKH的面积为，求的范围.
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4 . 设
，
是抛物线
上异于
的两点．
(1)设直线
，
，
的斜率分别为
，
，
，求证：
；
(2)设直线经过点
，若
上恰好存在三个点
，使得
的面积等于
，求直线的方程．
，是抛物线上异于的两点．(1)设直线
，，的斜率分别为，，，求证：；(2)设直线
经过点，若上恰好存在三个点，使得的面积等于，求直线的方程．
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2023-11-22更新
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436次组卷
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2卷引用：广西壮族自治区广西贵港市、百色市、河池市2023-2024学年高三上学期11月质量调研联考数学试题
名校
解题方法
5 . 已知椭圆
经过点
，焦距为
是椭圆上不在坐标轴上的两点，且
关于坐标原点对称，设点
，直线
交椭圆于另一点
，直线
交椭圆于另一点
．
(1)求椭圆
的标准方程；(2)记直线
与
的斜率分别为
，求证：
为定值．
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2023-11-19更新
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469次组卷
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2卷引用：浙江省七彩阳光新高考研究联盟2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试题
名校
解题方法
6 . 已知双曲线
的右顶点
，它的一条渐近线的倾斜角为
.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点
作直线
交双曲线于，两点（不与点
重合），求证：
；
(3)若过双曲线上一点
作直线与两条渐近线相交，交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若
，
，求
面积的取值范围.
的右顶点，它的一条渐近线的倾斜角为.(1)求双曲线
的方程；(2)过点
作直线交双曲线于，两点（不与点重合），求证：；(3)若过双曲线
上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围.
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名校
解题方法
7 . 已知椭圆
的上、下顶点分别为A，B，O为椭圆的中心，D是线段OB的中点．直线
，动点T到直线m的距离与T到点
的距离相等．设动点T的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过点D作斜率为
的直线l，交于M，N，直线
分别交于P，Q两点（P，Q均不同于点A），设直线
的斜率为，求证：
是定值．
的上、下顶点分别为A，B，O为椭圆的中心，D是线段OB的中点．直线，动点T到直线m的距离与T到点的距离相等．设动点T的轨迹为．(1)求
的方程；(2)过点D作斜率为
的直线l，交于M，N，直线分别交于P，Q两点（P，Q均不同于点A），设直线的斜率为，求证：是定值．
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名校
解题方法
8 . 如图，已知椭圆
经过点
，离心率
．的标准方程；
(2)椭圆上任意点
轴上一点
，若
的最小值为
，求实数
的取值范围；
(3)设是经过右焦点
的任一弦（不经过点），直线与直线
相交于点，记
的斜率分别为
，求证:
成等差数列.
经过点，离心率．
的标准方程；(2)椭圆
上任意点轴上一点，若的最小值为，求实数的取值范围；(3)设
是经过右焦点的任一弦（不经过点），直线与直线相交于点，记的斜率分别为，求证:成等差数列.
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2024-03-29更新
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477次组卷
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4卷引用：上海市向明中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
上海市向明中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题上海市松江二中2023-2024学年高二下学期期中数学试卷湖北省武汉市第二中学2023-2024学年高三下学期模拟考试（最后一卷）数学试卷（已下线）专题02圆锥曲线全章复习攻略--高二期末考点大串讲（沪教版2020选修一）
名校
解题方法
9 . 定义空间中既有大小又有方向的量为空间向量．起点为
，终点为
的空间向量记作
，其大小称为的模，记作
等于
两点间的距离．模为零的向量称为零向量，记作
．空间向量的加法、减法以及数乘运算的定义与性质和平面向量一致，如：对任意空间向量
，均有
，
，
；对任意实数
和空间向量，均有
；对任意三点
，均有
等．已知体积为
的三棱锥
的底面均为
，在中，
是内一点，
．记
．
(1)若
到平面
的距离均为1，求
；
(2)若
是的重心，且对任意
，均有
．
（i）求的最大值；
（ii）当最大时，5个分别由24个实数组成的24元数组
满足对任意
，均有
，且对任意
均有
求证：
不可能对任意及
均成立．
（参考公式：
）
，终点为的空间向量记作，其大小称为的模，记作等于两点间的距离．模为零的向量称为零向量，记作．空间向量的加法、减法以及数乘运算的定义与性质和平面向量一致，如：对任意空间向量，均有，，；对任意实数和空间向量，均有；对任意三点，均有等．已知体积为的三棱锥的底面均为，在中，是内一点，．记．(1)若
到平面的距离均为1，求；(2)若
是的重心，且对任意，均有．（i）求
的最大值；（ii）当
最大时，5个分别由24个实数组成的24元数组满足对任意，均有，且对任意均有求证：不可能对任意及均成立．（参考公式：
）
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2024-06-13更新
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372次组卷
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2卷引用：重庆市巴蜀中学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题
10 . 如图，
为圆
上一动点，过点分别作
轴､
轴的垂线，垂足分别为，点满足
，点的轨迹记为曲线
.的方程；
(2)若过点
的两条直线
分别交曲线于
两点，且
，求证：直线
过定点；
(3)若曲线交轴正半轴于点
，直线
与曲线交于不同的两点
，直线
分别交轴于
两点，试探究：轴上是否存在点
，使得
？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
为圆上一动点，过点分别作轴､轴的垂线，垂足分别为，点满足，点的轨迹记为曲线.
的方程；(2)若过点
的两条直线分别交曲线于两点，且，求证：直线过定点；(3)若曲线
交轴正半轴于点，直线与曲线交于不同的两点，直线分别交轴于两点，试探究：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
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