1 . 已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，，，平面平面，三角形不是钝角三角形且面积为，点在面上的射影为点.
   
(1)证明：平面的充要条件是；
(2)求二面角的正弦值的取值范围．

2 . 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面底面，且分别为棱的中点．
   
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离．

3 . 设，已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围.

4 . 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，．
   
(1)证明：平面平面；
(2)已知，在线段上是否存在一点，使得二面角的平面角为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

5 . 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点在棱上，平面.
   
(1)试确定点的位置，并说明理由；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围.

6 . 如图，四棱锥中，平面，，，，为的中点．

(1)证明：平面平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．

7 . 如图，在直三棱柱中，M，N，P分别为的中点．

   

(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，在上是否存在一点E，使得与BP垂直？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

8 . 已知四边形ABCD是矩形，，．如图，将沿着对角线AC翻折，得到，顶点在平面ABCD上的射影O恰好落在边AD上．

(1)求证：平面；
(2)求的取值范围；
(3)若二面角的余弦值为，求BC与平面所成角的正弦值．

9 . 已知集合.
(1)若，求；
(2)若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围.

10 . 图1是直角梯形，四边形是边长为2的菱形并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2.

(1)求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值.