1 . 已知椭圆的左右焦点分别为F₁，F₂，该椭圆与y轴正半轴交于点M，且△MF₁F₂是边长为2的等边三角形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F₂任作一直线交椭圆于A，B两点，平面上有一动点P，设直线PA，PF₂，PB的斜率分别为k₁，k，k₂，且满足k₁+k₂=2k，求动点P的轨迹方程.

2 . 如图，四边形与均为菱形，，且.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.

3 . 如图所示在四棱锥中，下底面为正方形，平面平面，为以为斜边的等腰直角三角形，，若点是线段上的中点.

（1）证明平面.
（2）求二面角的平面角的余弦值.

4 . 已知抛物线上一点到焦点的距离.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线交抛物线与，两点，在轴上是否存在定点（异于点），使得，如果存在，请求出定点的坐标，如果不存在请说明理由.

5 . 已知椭圆的上顶点为A，右焦点为F，O是坐标原点，是等腰直角三角形，且周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l与AF垂直，且交椭圆于B，C两点，求面积的最大值.

6 . 如图，曲线是以原点为中心、，为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为顶点、为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点且为钝角，若，.

（1）求曲线和的方程；
（2）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线，依次交于，，，四点，若为中点，为中点，问是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.

7 . 如图，四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为中点.

（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.

8 . 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；
（III）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.

9 . 已知椭圆方程为．
（1）设椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上运动，求的值；
（2）设直线和圆相切，和椭圆交于、两点，为原点，线段、分别和圆交于、两点，设、的面积分别为、，求的取值范围．

10 . 在直三棱柱中，，，．

（1）求异面直线与所成角的正切值；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．