1 . n个有次序的实数，，…，所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量，若，称为n维信号向量.设，，则和的内积定义为，且.
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(2)证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量；
(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量，，…，满足它们的前m个分量都是相同的，求证：.

2 . 已知椭圆经过点，且焦距为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为、，点为椭圆上异于、的动点，设交直线于点，连接交椭圆于点，直线的斜率分别为．
①求证：为定值；
②证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标．

3 . 已知双曲线的方程为，虚轴长为2，点在上.
(1)求双曲线的方程；
(2)过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值；
(3)过点的直线交双曲线于两点，直线与轴的交点分别为，求证：的中点为定点.

4 . 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．

(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.

5 . 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点．

(1)求证：CD⊥平面PAD；
(2)若．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
(3)设CG与平面AEF所成角为，求的范围.

6 . 在四棱锥中，平面，底面为正方形，为的中点.

(1)求证：平面；
(2)若，，求点到平面的距离.

7 . 如图，正方体的棱长为2，E为BC的中点.点在上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M唯一确定，并解答问题.

条件①：
条件②：；
条件③：平面.
(1)求证：为的中点；
(2)求直线EM与平面所成角的大小，及点E到平面的距离.

8 . 如图，在三棱台中，和都为等腰直角三角形，为线段的中点，为线段上的点.

(1)若点为线段的中点，求证：平面；
(2)若平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，求二面角的正弦值.

9 . 如图，在多面体中，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值，

10 . 如图1，在等腰直角三角形ABC中，，,分别是上的点，，为中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中．

   

(1)求证：⊥平面；
(2)求点到平面的距离．