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2019·全国·高考真题
解答题-证明题 | 困难(0.15) |
累加法求数列通项 由递推关系证明等比数列 写出简单离散型随机变量分布列
真题 名校
解题方法
定义法判断等比数列 根据步骤列出离散型随机变量的分布列
1 . 为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
2019-06-09更新 | 37939次组卷 | 66卷引用：山西省长治市第一中学校2023-2024学年高二下学期第二次段考数学试题
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2018·全国·高考真题
解答题-问答题 | 适中(0.65) |
观察茎叶图比较数据的特征 完善列联表 卡方的计算
真题 名校
解题方法
计算卡方进行独立性检验
2 . 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：
超过不超过
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：，

2018-06-09更新 | 40210次组卷 | 91卷引用：山西省大同市煤矿第四中学校2021届高三上学期期中数学（文）试题
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2023·湖北武汉·一模
多选题 | 较易(0.85) |
组合数的性质及应用 服从二项分布的随机变量概率最大问题 建立二项分布模型解决实际问题
名校
解题方法
转化与化归思想
3 . 已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（       ）
A． B．时，
C．时，随着的增大而增大D．时，随着的增大而减小
2023-02-19更新 | 5164次组卷 | 12卷引用：山西省太原市山西大学附属中学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题
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2023·浙江杭州·二模
单选题 | 较易(0.85) |
相关关系与函数关系的概念及辨析 相关系数的意义及辨析 残差的计算 相关指数的计算及分析
名校
4 . 某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉后，下列说法正确的是（       ）
A．相关系数r变小B．决定系数变小
C．残差平方和变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
2023-04-06更新 | 5207次组卷 | 19卷引用：山西省朔州市怀仁市2022-2023学年高二下学期期末数学试题
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23-24高二上·辽宁·期末
单选题 | 较难(0.4) |
排列组合综合 分步乘法计数原理及简单应用 实际问题中的组合计数问题 分组分配问题
名校
解题方法
不平均分组问题 分类分步问题
5 . 某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（       ）
A．564B．484C．386D．640
2024-01-17更新 | 3814次组卷 | 14卷引用：山西运城盐湖区第五高级中学2024届高三上学期期末数学试题
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2024·全国·模拟预测
单选题 | 较易(0.85) |
独立重复试验的概率问题 利用二项分布求分布列
名校
解题方法
利用二项分布概率公式求二项分布的分布列
6 . 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（       ）

A．B．C．D．
2024-04-05更新 | 3864次组卷 | 14卷引用：山西省太原市第五中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题
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2020·全国·高考真题
单选题 | 较易(0.85) |
分类加法计数原理
真题 名校
解题方法
特殊元素法
7 . 如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（       ）

A．5B．8C．10D．15
2020-07-08更新 | 17447次组卷 | 41卷引用：山西省忻州市岢岚县中学2020-2021学年高二下学期4月月考数学（理）试题
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21-22高二下·广东广州·期末
解答题-问答题 | 适中(0.65) |
计算古典概型问题的概率 建立二项分布模型解决实际问题 正态分布的实际应用
名校
解题方法
利用频率分布直方图求平均数、中位数和众数 根据步骤列出离散型随机变量的分布列
8 . 某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获得一等奖，其他学生不得奖，为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．

(1)现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；
(2)若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（i）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；
（ii）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和期望．
附参考数据，若随机变量X服从正态分布，则，，．
2023-02-20更新 | 3919次组卷 | 11卷引用：山西省阳泉市2023届高三上学期期末数学试题
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2023·山西·一模
解答题-问答题 | 较难(0.4) |
计算古典概型问题的概率 计算条件概率 独立事件的乘法公式 利用全概率公式求概率
解题方法
利用条件概率公式求解条件概率
9 . 假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球2个红球，第二个盒子里装有2个白球4个红球，这些小球除颜色外完全相同.
(1)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；
(2)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.
2023-02-03更新 | 3908次组卷 | 11卷引用：山西省2023届高三一模数学试题
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2023·山西·模拟预测
解答题-问答题 | 适中(0.65) |
写出简单离散型随机变量分布列 求离散型随机变量的均值 离散型随机变量的方差与标准差 正态分布的实际应用
名校
解题方法
利用均值和方差解决风险评估和决策型问题 利用正态分布三段区间的概率值求概率
10 . 2023年，全国政协十四届一次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月11日下午闭幕，会期7天半；十四届全国人大一次会议于3月5日上午开幕，13日上午闭幕，会期8天半.为调查学生对两会相关知识的了解情况，某高中学校开展了两会知识问答活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取320名学生，他们的得分（满分100分）的频率分布折线图如下.

(1)若此次知识问答的得分，用样本来估计总体，设，分别为被抽取的320名学生得分的平均数和标准差，求的值；
(2)学校对这些被抽取的320名学生进行奖励，奖励方案如下：用频率估计概率，得分小于或等于55的学生获得1次抽奖机会，得分高于55的学生获得2次抽奖机会.假定每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为，抽到价值20元的学习用品的概率为.从这320名学生中任取一位，记该同学在抽奖活动中获得学习用品的价值总额为元，求的分布列和数学期望（用分数表示），并估算此次抽奖要准备的学习用品的价值总额.
参考数据：，，，，.
2023-04-09更新 | 3581次组卷 | 11卷引用：山西省部分学校2023届高三下学期4月联考数学试题
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