1 . 已知椭圆的焦距为2，经过点.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)椭圆的左顶点为，过其右焦点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，记直线的斜率分别为，证明：为定值.

2 . 已知椭圆 的离心率为 其左右焦点分别为 下顶点为A，右顶点为B，的面积为
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)设不过原点O 的直线交C于M、N两点，且直线 的斜率依次成等比数列，求 面积的取值范围．

3 . 已知椭圆
(1)若双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆C有公共焦点，求此双曲线的方程；
(2)过点的动直线交椭圆于两点，试问在坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由．

4 . 椭圆的离心率，且椭圆的短轴长为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线过点，且与椭圆相交于两点，又点是椭圆的下顶点，当面积最大时，求直线的方程．

5 . 设椭圆，，分别是C的左、右焦点，C上的点到的最小距离为1，P是C上一点，且的周长为6．
(1)求C的方程；
(2)过点且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，过原点且与l平行的直线与C交于A，B两点，求证：为定值．

6 . 已知椭圆：的离心率为，、分别是其左、右焦点，若是椭圆上的右顶点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为（与不重合），问直线与轴是否交于一个定点？若是，请写出该定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

7 . 椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，过且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)若与坐标轴不垂直且不过原点的直线与椭圆相交于不同的两点A，B，过AB的中点M作垂直于的直线，设与椭圆相交于不同的两点C，D，且．设原点O到直线的距离为d，求的最大值．

8 . 椭圆的左､右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设不过原点О的直线与椭圆交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围.

9 . 设圆的圆心为，过点且与轴不重合的直线交圆于、两点，过作的平行线交于点.
（1）证明为定值，并写出点的轨迹的方程；
（2）已知点，，过点的直线与曲线交于、两点.记与的面积分别为和，求的最大值.

10 . 在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、， 也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且.
（1）求的方程；
（2）平面上的点满足，直线，且与交于、两点，若，求直线的方程.