1 . 已知点A，B，C是离心率为的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点D，E，F分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则_________．

3 . 已知双曲线的渐近线为，左焦点为经过点的直线交双曲线于两点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线在轴上截距为2，求；
(3)若的中点横坐标为1，求直线的方程．

4 . 已知双曲线.
(1)若离心率为，求b的值，的顶点坐标、渐近线方程；
(2)若，是否存在被点平分的弦?如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由．

5 . 在平面直角坐标系中，已知双曲线（、为正数）的右顶点为，右焦点到渐近线的距离为，直线与双曲线交于、两点，且、均不是双曲线的顶点，为的中点．
(1)求双曲线的方程；
(2)当直线与直线的斜率均存在时，设斜率分别为、，求的值；
(3)若，试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标：否则，说明理由．

6 . 已知，如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点，为曲线所在圆锥曲线的焦点

（1）若，求曲线的方程；
（2）如图，作斜率为正数的直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求弦的中点的轨迹方程；
（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值

7 . 已知直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线C上，设坐标原点为O.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点的直线l与双曲线C交于R、S两点，若，求直线l的方程；
（3）设在双曲线上，且直线AM与y轴相交于点P，点M关于y轴对称的点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在x轴上是否存在定点T，使得？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.