1 . 在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数､公式和定理，如：欧拉函数
（
）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：
；
（与3互素有1､2）；
（与9互素有1､2､4､5､7､8）.记
为数列
的前n项和，则
=（ ）
（）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：；（与3互素有1､2）；（与9互素有1､2､4､5､7､8）.记为数列的前n项和，则=（ ）A． | B． | C． | D． |
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2022-05-08更新
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2275次组卷
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8卷引用：专题4 欧拉
（已下线）专题4 欧拉（已下线）重难点07五种数列求和方法-2（已下线）专题17 数列综合应用-3安徽省合肥市肥东县综合高中2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期入学考试数学试题湖南省长沙市部分学校2023-2024学年高二下学期入学暨寒假作业检测联考数学试卷广西壮族自治区百色市德保县德保高中2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题广东省2022届高三三模数学试题
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解题方法
2 . 设数列
的前
项和为，若
，则称是“紧密数列”.
(1)若
，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；
(2)若数列前项和为
，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；
(3)设数列是公比为
的等比数列.若数列与
都是“紧密数列”，求的取值范围.
的前项和为，若，则称是“紧密数列”.(1)若
，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；(2)若数列
前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；(3)设数列
是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.
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2023-06-07更新
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1115次组卷
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7卷引用：专题08 数列
（已下线）专题08 数列（已下线）专题01 数列大题（已下线）模型1 用综合法快解新情境背景下的数列创新题模型（高中数学模型大归纳）（已下线）大招1 创新数列交汇问题的速破策略北京市东城区第一六六中学2024届高三上学期期末模拟测试数学试题（已下线）北京市东城区第一六六中学2023-2024学年高三上学期期末模拟考试数学试题广东省汕头市金山中学2023屇高三三模数学试题
2024·全国·模拟预测
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解题方法
3 . 若数列，对于
，都有
（
为常数）成立，则称数列具有性质
．已知数列的通项公式为
，且具有性质
，则实数
的取值范围是（ ）
，对于，都有（为常数）成立，则称数列具有性质．已知数列的通项公式为，且具有性质，则实数的取值范围是（ ）A． | B． | C． | D． |
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名校
解题方法
4 . 意大利数学家傲波那契在研究兔子繁殖问题时发现了数列1，1，2，3，5，8，13，…，数列中的每一项被称为斐波那契数，记作Fn.已知
，
，
（
，且n>2）.
（1）若斐波那契数Fn除以4所得的余数按原顺序构成数列，则
___________ .
（2）若
，则
___________ .
，，（，且n>2）.（1）若斐波那契数Fn除以4所得的余数按原顺序构成数列
，则（2）若
，则
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2023-02-19更新
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1055次组卷
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5卷引用：押新高考第16题 数列性质及其应用
5 . 已知各项均不为0的递增数列的前项和为，且
（
，且
）．
(1)求数列
的前项和
；
(2)定义首项为2且公比大于1的等比数列为“
-数列”．证明：
①对任意
且
，存在“-数列”
，使得
成立；
②当
且
时，不存在“-数列”
，使得
对任意正整数
成立．
的前项和为，且（，且）．(1)求数列
的前项和；(2)定义首项为2且公比大于1的等比数列为“
-数列”．证明：①对任意
且，存在“-数列”，使得成立；②当
且时，不存在“-数列”，使得对任意正整数成立．
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6 . 设等比数列的前项和为，前项积为，若满足
，
，
，则下列选项正确的是（ ）
的前项和为，前项积为，若满足，，，则下列选项正确的是（ ）| A．为递减数列 | B． |
C．当 时，最小 | D．当 时，的最小值为4047 |
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2023-08-11更新
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1074次组卷
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3卷引用：专题10 数列小题
7 . 对于每项均是正整数的数列
、
、
、
，定义变换
，将数列
变换成数列
、
、
、、
．对于每项均是非负整数的数列
、
、、
，定义变换
，将数列
各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列
；又定义
．设
是每项均为正整数的有穷数列，令
．
(1)如果数列为
、
、
，写出数列
、
；
(2)对于每项均是正整数的有穷数列，证明
；
(3)证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数
，当
时，
．
、、、，定义变换，将数列变换成数列、、、、．对于每项均是非负整数的数列、、、，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义．设是每项均为正整数的有穷数列，令．(1)如果数列
为、、，写出数列、；(2)对于每项均是正整数的有穷数列
，证明；(3)证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列
，存在正整数，当时，．
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2023-03-09更新
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1085次组卷
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5卷引用：专题12压轴题汇总（10、15、21题）
专题12压轴题汇总（10、15、21题）（已下线）2023年北京高考数学真题变式题16-21（已下线）专题05 数列在高中数学其他模块的应用（九大题型+过关检测专训）-2023-2024学年高二数学《重难点题型·高分突破》（人教A版2019选择性必修第二册）北京市平谷区2023届高三一模数学试题北京市陈经纶中学团结湖分校2023届高三零模数学试题
名校
解题方法
8 . 若数列满足
，其中
，则称数列为M数列.
(1)已知数列为M数列，当
时.
（ⅰ）求证：数列
是等差数列，并写出数列
的通项公式；
（ⅱ）
，求
.
(2)若是M数列
，且
，证明：存在正整数n.使得
.
满足，其中，则称数列为M数列.(1)已知数列
为M数列，当时.（ⅰ）求证：数列
是等差数列，并写出数列的通项公式；（ⅱ）
，求.(2)若
是M数列，且，证明：存在正整数n.使得.
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2024-03-25更新
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1228次组卷
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3卷引用：压轴题05数列压轴题15题型汇总-1
9 . 对于数列，把它连续两项
与的差记为
得到一个新数列，称数列为原数列的一阶差数列.若
，则数列是的二阶差数列，以此类推，可得数列的p阶差数列.如果某数列的p阶差数列是一个非零的常数列，则称此数列为p阶等差数列，如数列1，3，6，10.它的前后两项之差组成新数列2，3，4.新数列2，3，4的前后两项之差再组成新数列1，1，1，新数列1，1，1为非零常数列，则数列1，3，6，10称为二阶等差数列.已知数列满足
，且
，则下列结论中正确的有（ ）
，把它连续两项与的差记为得到一个新数列，称数列为原数列的一阶差数列.若，则数列是的二阶差数列，以此类推，可得数列的p阶差数列.如果某数列的p阶差数列是一个非零的常数列，则称此数列为p阶等差数列，如数列1，3，6，10.它的前后两项之差组成新数列2，3，4.新数列2，3，4的前后两项之差再组成新数列1，1，1，新数列1，1，1为非零常数列，则数列1，3，6，10称为二阶等差数列.已知数列满足，且，则下列结论中正确的有（ ）| A．数列为二阶等差数列 |
| B．数列为三阶等差数列 |
C．数列 的前n项和为 |
D．若数列为k阶等差数列，则的前n项和 为 阶等差数列 |
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2023-04-12更新
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1065次组卷
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4卷引用：专题10 数列通项公式的求法 微点3 累乘法
（已下线）专题10 数列通项公式的求法 微点3 累乘法（已下线）专题11 数列前n项和的求法 微点3 裂项相消法求和（一）湖北省鄂东南省级示范教学改革联盟学校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题吉林省白山市抚松县第一中学2022-2023学年高三第十一次校内模拟数学试题
10 . 已知数列满足
，
，设的前项积为，且
．
(1)求数列的通项公式；
(2)设
数列的前项和为，求证：
．
满足，，设的前项积为，且．(1)求数列
的通项公式；(2)设
数列的前项和为，求证：．
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