1 . 若各项为正的无穷数列满足：对于，，其中为非零常数，则称数列为数列.记.
(1)判断无穷数列和是否是数列，并说明理由；
(2)若是数列，证明：数列中存在小于1的项；
(3)若是数列，证明：存在正整数，使得.

2 . 已知：正整数列各项均不相同，，数列的通项公式
(1)若，写出一个满足题意的正整数列的前5项：
(2)若，求数列的通项公式；
(3)证明若，都有，是否存在不同的正整数，j，使得，为大于1的整数，其中.

3 . 对于数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”.已知为数列的“接近数列”，且，.
(1)若（是正整数），求，，，的值；
(2)若（是正整数），是否存在（是正整数），使得，如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由；
(3)若为无穷等差数列，公差为，求证：数列为等差数列的充要条件是.

4 . 对于数列，若存在正数，使得对任意，，都满足，则称数列符合“条件”.
(1)试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”？
(2)若首项为1，公比为的正项等比数列符合“条件”.求的范围；
(3)在（2）的条件下，记数列的前项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”.

5 . 已知正项数列，对任意的正整数m、n都有，则下列结论可能成立的是（       ）

A．	B．
C．	D．

6 . 设满足条件的数列组成的集合为，而满足条件的数列组成的集合为．
(1)判断数列和数列是否为集合或中的元素？
(2)已知数列，研究是否为集合或中的元素；若是，求出实数的取值范围；若不是，请说明理由．
(3)已知(其中为常数)，若为集合中的元素，求满足不等式的的值组成的集合．

7 . 若无穷数列{}满足如下两个条件，则称{}为无界数列：
①（n=1，2，3......）
②对任意的正数，都存在正整数N，使得n>N，都有.
(1)若，（n=1，2，3......），判断数列{}，{}是否是无界数列；
(2)若，是否存在正整数k，使得对于一切，都有成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由；
(3)若数列{}是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得.