1 . 设数列的前项和为，且，数列满足，其中.
(1)证明为等差数列，求数列的通项公式；
(2)求使不等式对任意正整数都成立的最大实数的值；
(3)当时，求证：.

2 . 已知数列为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列：
①；
②对于，使得的正整数对有k个.
(1)写出所有4的1减数列；
(2)若存在m的6减数列，证明：；
(3)若存在2024的k减数列，求k的最大值.

3 . 设无穷数列的前项和为为单调递增的无穷正整数数列，记，，定义．
(1)若，写出的值；
(2)若，求；
(3)设求证：对任意的无穷数列，存在数列，使得为常数列．

4 . 已知是所有素数从小到大排列而成的数列，满足，．
(1)比较和150的大小，并说明理由；
(2)证明：．

5 . 已知数列的前n项和为．若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，，称数列为的“余项数列”.
(1)若的前四项依次为0，1，，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由；
(2)若，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；
(3)已知正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：．

6 . 对于数列，若存在正数，使得对任意，，都满足，则称数列符合“条件”.
(1)试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”？
(2)若首项为1，公比为的正项等比数列符合“条件”.求的范围；
(3)在（2）的条件下，记数列的前项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”.

7 . 已知无穷数列的各项均为正数，当时，；当时，，其中表示这s个数中最大的数．
(1)若数列的前4项为1，2，2，4，写出的值；
(2)证明：对任意的，均有；
(3)证明：存在正整数，当时，．

8 . 已知数列满足：，或，对一切都成立．记为数列的前项和．若存在一个非零常数，对于任意，成立，则称数列为周期数列，是一个周期．
(1)求、所有可能的值，并写出的最小可能值；（不需要说明理由）
(2)若，且存在正整数，，使得与均为整数，求的值；
(3)记集合，求证：数列为周期数列的必要非充分条件为“集合为无穷集合”．

9 . 已知无穷数列满足，其中n＝1，2，3，….对于数列中的一项，若包含的连续项，，…，满足或，则称，，…，为包含的长度为j的“单调片段”.
(1)若，写出所有包含的长度为3的“单调片段”；
(2)若，包含的“单调片段”长度的最大值都等于2，并且，求的通项公式；
(3)若，k≥2，都存在包含的长度为k的“单调片段”，求证：存在，使得时，都有.

10 . 已知数列，，…，的各项均为整数，且对任意的，2，…，，都有．将A的所有项之和记为．
(1)若，，求的最大值；
(2)若，求证：；
(3)设．将所有符合题意且的数列A的总个数记为M，判断M是否为4的倍数，并说明理由．