解题方法
1 . 微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下:
如果函数
在闭区间
上连续，在开区间
可导，导数为
，那么在开区间内至少存在一点
，使得
，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.已知函数
.
(1)若
，求函数在
上的“拉格朗日中值点”
；
(2)若
，求证:函数在区间
图象上任意两点
，
连线的斜率不大于
；
(3)若
，且
，求证:
.
如果函数
在闭区间上连续，在开区间可导，导数为，那么在开区间内至少存在一点，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.已知函数.(1)若
，求函数在上的“拉格朗日中值点”；(2)若
，求证:函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于；(3)若
，且，求证:.
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名校
2 . 蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（ ）
A． |
B． |
C．若P为EF的中点，则 在 上的投影向量为 |
D． 的最大值为 |
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解题方法
3 . 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且
，点
在
上，
，点
在
内 (含边界)一点，若
，则
的最大值为_____ .
，点在上，，点在 内 (含边界)一点，若，则的最大值为
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4 . 记
为函数
的
阶导数，
，若存在，则称
阶可导．英国数学家泰勒发现：若在附近
阶可导，则可构造
（称其为在处的次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值．下列说法正确的是（ ）
为函数的阶导数，，若存在，则称阶可导．英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称其为在处的次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值．下列说法正确的是（ ）A．若 ，则 |
B．若 ，则 |
C． 在 处的3次泰勒多项式为 |
D． （精确到小数点后两位数字） |
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名校
5 . 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、卵形线、蔓叶线等，心形线也是其中一种，因其形状像心形而得名，其平面直角坐标方程可表示为
，图形如图所示．当
时，点
在这条心形线C上，且
，则下列说法正确的是（ ）
，图形如图所示．当时，点在这条心形线C上，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 |
B．若，则 |
C． |
| D．C上有4个整点（横、纵坐标均为整数的点） |
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2024-03-08更新
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385次组卷
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3卷引用：山西省长治市第二中学校2024届高三高考模拟考试一模数学试题
名校
6 . 在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知
，
，设
，则M所在的区间为（ ）
，，设，则M所在的区间为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2024-01-11更新
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761次组卷
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3卷引用：山西省晋城市第一中学校2023-2024学年高三上学期第十二次调研考试数学试题
山西省晋城市第一中学校2023-2024学年高三上学期第十二次调研考试数学试题（已下线）压轴题函数与导数新定义题(九省联考第19题模式）练辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷
解题方法
7 . 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画出点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中实心点的个数依次为5，9，14，20，…，这样的一组数被称为梯形数，记此数列为
，则（ ）
，则（ ） A．存在 ，使得 ， ， 为等差数列 |
B． |
C．存在 且 ，使得 |
D．数列 的前n项和小于 |
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2024-01-25更新
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381次组卷
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4卷引用：山西省吕梁市孝义市部分学校2024届高三上学期12月月考数学试题
山西省吕梁市孝义市部分学校2024届高三上学期12月月考数学试题山西省晋中市灵石县第一中学校2024届高三上学期12月月考数学试题（已下线）考点16 几类特殊的数列模型 2024届高考数学考点总动员【练】（已下线）期末精确押题之多选题(40题）-2023-2024学年高二数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019）
解题方法
8 . 古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月
天计算，记此人第日布施了
子安贝（其中
，
），数列
的前项和为
.若关于的不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
天计算，记此人第日布施了子安贝（其中，），数列的前项和为.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2023-11-16更新
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305次组卷
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4卷引用：山西省运城市2024届高三上学期期中数学试题
山西省运城市2024届高三上学期期中数学试题（已下线）模块3 第5套 复盘卷福建省福州市第十一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（已下线）4.3.2 等比数列的前n项和公式——课后作业（基础版）
名校
9 . 若数列满足
，
，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为
的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中的扇形面积为
，数列
的前项和为．下列结论正确的是（ ）
A． | B． 是奇数 |
C． | D． |
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2023-11-10更新
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696次组卷
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6卷引用：山西省吕梁市2024届高三上学期阶段性测试数学试题
山西省吕梁市2024届高三上学期阶段性测试数学试题（已下线）考点16 几类特殊的数列模型 2024届高考数学考点总动员【练】宁夏回族自治区2023-2024学年高二上学期期末测试数学训练卷（三）（范围：选择性必修第二册 4.1-5.2.2）安徽省芜湖市芜湖一中2023-2024学年高二上学期12月教学质量诊断测试数学试题（已下线）第4.1.2讲 数列的递推公式与前n项和-2023-2024学年新高二数学同步精讲精练宝典（人教A版2019选修第二、三册）黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
名校
解题方法
10 . 德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分的概念．在研究切线时，他对切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”，这也正是导数定义的内涵之一．已知曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则常数
的值是（ ）
在点处的切线与直线垂直，则常数的值是（ ）A． | B． | C． | D． |
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2023-10-08更新
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432次组卷
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3卷引用：山西省朔州市怀仁市第一中学校2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题
