名校
1 . 根据多元微分求条件极值理论,要求二元函数
在约束条件
的可能极值点,首先构造出一个拉格朗日辅助函数
,其中
为拉格朗日系数.分别对
中的
部分求导,并使之为0,得到三个方程组,如下:
,解此方程组,得出解
,就是二元函数
在约束条件
的可能极值点.
的值代入到
中即为极值.
补充说明:【例】求函数
关于变量
的导数.即:将变量
当做常数,即:
,下标加上
,代表对自变量x进行求导.即拉格朗日乘数法方程组之中的
表示分别对
进行求导.
(1)求函数
关于变量
的导数并求当
处的导数值.
(2)利用拉格朗日乘数法求:设实数
满足
,求
的最大值.
(3)①若
为实数,且
,证明:
.
②设
,求
的最小值.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/df64046e91b047037f19e4032e3b6de3.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/244021f826099b18e31af1143597bba2.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9b0fffbec1fe851795dfdd448bf0d165.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f1c3c1ed4fb65ab9505ad8078d8d0fb5.png)
补充说明:【例】求函数
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aebdee8d81b048b5aa520f7e8ba56ff2.png)
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(1)求函数
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9b384412acba251d87902ab928902f16.png)
(2)利用拉格朗日乘数法求:设实数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9b0fffbec1fe851795dfdd448bf0d165.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6c45d8122b61de13875003d00c002c5b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/de725a9fc66f67abbe0015131846a648.png)
(3)①若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1a14c388e1e2e5a2ff1ccf6caffbee0d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bd24c686fbaaa68705d654b880481ffe.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e778f95c72fec00bfbbc63e6dfd0c460.png)
②设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/497d269c30eec393e3f0e877ddbe2983.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ade042c085bbad8aeaf111b9f4c33408.png)
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解题方法
2 . 在组合恒等式的证明中,构造一个具体的计数模型从而证明组合恒等式的方法叫做组合分析法,该方法体现了数学的简洁美,我们将通过如下的例子感受其妙处所在.
(1)对于
元一次方程
,试求其正整数解的个数;
(2)对于
元一次方程组
,试求其非负整数解的个数;
(3)证明:
(可不使用组合分析法证明).
注:
与
可视为二元一次方程的两组不同解.
(1)对于
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/114b84ba3234b9bb1bf9f64c172292d7.png)
(2)对于
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aa38e21db62123319c9557d1bc52825d.png)
(3)证明:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d63a043e64f7ed5d168cd2c9384e953b.png)
注:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/65fe832c0460e00120d4bc3636aebcaf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aa6c8fe63bb58df1c5a12422e9c9e291.png)
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2024-03-08更新
|
1104次组卷
|
3卷引用:辽宁省2024届高三下学期3+2+1模式新高考适应性统一考试数学试卷
3 . 对一般的实系数一元三次方程
,由于总可以通过代换
消去其二次项,就可以变为方程
.在一些数学工具书中,我们可以找到方程
的求根公式,这一公式被称为卡尔丹公式,它是以16世纪意大利数学家卡尔丹(J.Cardan)的名字命名的.
卡尔丹公式的获得过程如下:三次方程
可以变形为
,把未知数x写成两数之和
,再把等式
的右边展开,就得到
,即
.将上式与
相对照,得到
,把此方程组中的第一个方程两边同时作三次方,
,并把
与
看成未知数,解得
,于是,方程
一个根可以写成
.
阅读以上材料,求解方程
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/eccb3856fa5aa8dc822a593ec88ca2bf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ae0f3c81f415857813838d4b9b714d56.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b5dd275a6062b21f9c3e9155c7e0ba62.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b5dd275a6062b21f9c3e9155c7e0ba62.png)
卡尔丹公式的获得过程如下:三次方程
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b5dd275a6062b21f9c3e9155c7e0ba62.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7ead1b77b69e6b51d6d483331fd01d41.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f0bed1a02239821a616bc173181e7ed2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8c26aacdd3362aa65b2966045cbfcddf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3f02c3aa1326c9b1e069b6997cd29bfa.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/11792ad247341c0dbc80663dd0fa6f77.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7ead1b77b69e6b51d6d483331fd01d41.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b7a28d84fa30daeb6cfcb0347d1d40a9.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411a315870ed3e6d0e8ea885f1a04bcf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8b79aba80a3fc337b27ed567abf1e5c4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b5dd275a6062b21f9c3e9155c7e0ba62.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/49d63387694fd1caafce80adfb43c86b.png)
阅读以上材料,求解方程
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/93c3d494147195cf4f5e1fa3f6f5a0b9.png)
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4 . 解关于
,
的方程或方程组:
(1)
;
(2)
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3cf6f71e816aeec0cd8fa4c6607b7dd3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0000cc9d5048df0667dc7714077b69cb.png)
(1)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6e3092a7fa35b2f4f739502e4996af2e.png)
(2)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7b33b049747e0aee1d481df8a7fb93f1.png)
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5 . 为了不断提高教育教学能力,某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习.第一学习阶段结束后,为了解学习情况,负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间(满时长15小时),将其分成
六组,并绘制成如图所示的频率分布直方图(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/12/2/c97d0a06-2400-4ba5-a11a-e9eec39f6a74.png?resizew=229)
(1)求a的值;
(2)以样本估计总体,该地区教职工学习时间
近似服从正态分布
,其中
近似为样本的平均数,经计算知
.若该地区有5000名教职工,试估计该地区教职工中学习时间在
内的人数;
(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在
内的教职工中随机抽取5人,并从中随机抽取3人作进一步分析,分别求这3人中学习时间在
与
内的教职工平均人数.(四舍五入取整数)
参考数据:若随机变量
服从正态分布
,则
,
,
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9a57137f72cfc5bc24786c498d23561a.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/12/2/c97d0a06-2400-4ba5-a11a-e9eec39f6a74.png?resizew=229)
(1)求a的值;
(2)以样本估计总体,该地区教职工学习时间
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b734e8f1546481e3eb4976008a045de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/29bcc248a7770a16fa10fc4602d71e0e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1100379a4385b9ce064847bc21760adc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ade697f87b0137f931830d31ea13a07d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ce749cca064670cf6dbd1e9731183df4.png)
(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e5f50e459423e457bdebc77ee4b13340.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3e03672b0e4a807c8ba2a24e880177eb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/30ed27b5ab4f1d7821d0ca2865c0c095.png)
参考数据:若随机变量
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b734e8f1546481e3eb4976008a045de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/29bcc248a7770a16fa10fc4602d71e0e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/547c0c665547bc6181ed9aec23df6d74.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/36c61e8034550a92a950a2b57d537d5c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4f997d6759f643dc7b65cb4733d91402.png)
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2022-12-02更新
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689次组卷
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6卷引用:湖南省郴州市安仁县第一中学2021-2022学年高二数学模拟试题
湖南省郴州市安仁县第一中学2021-2022学年高二数学模拟试题(已下线)7.5 正态分布(分层作业)-【上好课】2022-2023学年高二数学同步备课系列(人教A版2019选择性必修第三册)(已下线)7.5 正态分布 (精讲)(2)(已下线)8.3正态分布(1)(已下线)7.5 正态分布(1)河南省南阳市第一中学校2022-2023学年高二下学期7月月考数学试题
解题方法
6 . 大力开展体育运动,增强学生体质,是学校教育的重要目标之一.某校组织全校学生进行了立定跳远训练,为了解训练的效果,从该校男生中随机抽出100人进行立定跳远达标测试,成绩(单位:米)均在
内,整理数据得到如下频率分布直方图.学校规定男生立定跳远2.05米及以上为达标,否则不达标.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/5/7/2974373271633920/2975164936478720/STEM/e78eef27-5c24-4fa7-b5f5-c354c5e6b86b.png?resizew=397)
(1)若男生立定跳远的达标率低于60%,该校男生还需加强立定跳远训练.请你通过计算,判断该校男生是否还需加强立定跳远训练;
(2)从该校随机抽取的100名立定跳远成绩在
和
内的男生中,用分层抽样的方法抽取7人,再从这7人中随机抽取2人,求这2人来自不同区间的概率.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/613af564447c34564fc04450a28598f1.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/5/7/2974373271633920/2975164936478720/STEM/e78eef27-5c24-4fa7-b5f5-c354c5e6b86b.png?resizew=397)
(1)若男生立定跳远的达标率低于60%,该校男生还需加强立定跳远训练.请你通过计算,判断该校男生是否还需加强立定跳远训练;
(2)从该校随机抽取的100名立定跳远成绩在
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6da010cdabd6762d8a7796310589c51.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3e32dd67dd6517fc1079a71945d0682d.png)
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名校
7 .
,且
.
(1)方程
在
有且仅有一个解,求
的取值范围.
(2)设
,对
,总
,使
成立,求
的范围.
(3)若
与
的图象关于
对称,求不等式
的解集.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/89a615271711750f4e18797f6c45404a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/221d133bc38df7ae4bf1717cb3ca12d4.png)
(1)方程
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e029124b4cd659d0596a955e6b93ce5b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8284604d4499d6ee65dbefed20c7800f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f0a532e15e232cb4b99a8d4d07c89575.png)
(2)设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6b324aceadfd941605fa757a5ea014c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/95e21dc6fe0ae3b5c607b274227b547e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a58a804ac94af91bb076b7bf3184a24c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ec6154e00013d9dee84c0e941f676ea9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/36a1b09c653185842513e24ebba60bb3.png)
(3)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a813b5adbf5c7082561237894ba6d599.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b28dd80f024a2ad50d7d5838a1cd80c5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7eb89f9fa268fc91676108a58c29e114.png)
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2023-05-21更新
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1192次组卷
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6卷引用:辽宁省沈阳市第十一中学2022-2023学年高一下学期4月月考数学试题
辽宁省沈阳市第十一中学2022-2023学年高一下学期4月月考数学试题(已下线)专题5.9 三角函数全章八类必考压轴题-举一反三系列(已下线)专题5.4 三角函数的图象与性质-举一反三系列(已下线)第七章 三角函数(压轴题专练)-单元速记·巧练(沪教版2020必修第二册)(已下线)模块四 专题2 重组综合练(江西)(北师版高一期中)江西省吉安市双校联盟2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题
8 . (1)计算:
;(请用数字作答)
(2)解关于正整数n的方程:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4f43b7aada649818eff36aafab684f32.png)
(2)解关于正整数n的方程:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3e916ab9b72f94e671302f8dabb8f208.png)
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2024-04-04更新
|
707次组卷
|
4卷引用:第六章:计数原理章末重点题型复习(1)
(已下线)第六章:计数原理章末重点题型复习(1)(已下线)专题01 第六章 两个计数原理及排列组合--高二期末考点大串讲(人教A版2019)山东省青岛第二中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷安徽省淮南第二中学2023-2024学年高二下学期期中教学检测数学试题
名校
9 . 2021年7月24日,中共中央办公厅国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》,要求学校做好课后服务,结合学生的兴趣爱好,开设体育、美术、音乐、书法等特色课程.某初级中学在课后延时一小时开设相关课程,为了解学生选课情况,在该校全体学生中随机抽取50名学生进行问卷调查,得到如下数据:(附:计算得到
的观测值为
.)
根据以上数据,对该校学生情况判断不正确的是( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2581192317ef233ccdccfc48ac29b52b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/48f0573ab39b1ac11e5f16f8dcae260d.png)
喜欢音乐 | 不喜欢音乐 | ||||
喜欢体育 | 20 | 10 | |||
不喜欢体育 | 5 | 15 | |||
![]() | 0.05 | 0.025 | 0.10 | 0.005 | 0.001 |
![]() | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
A.估计该校既喜欢体育又喜欢音乐的学生约占![]() |
B.从这30名喜欢体育的学生中采用随机数表法抽取6人做访谈,则他们每个个体被抽到的概率为![]() |
C.从不喜欢体育的20名学生中任选4人做访谈,则事件“至少有2人喜欢音乐”与“至多有1人不喜欢音乐”为对立事件 |
D.在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为“喜欢体育”与“喜欢音乐”有关系 |
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2022-03-01更新
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1102次组卷
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6卷引用:贵州省贵阳市2022届高三适应性监测考试(一)数学(文)试题
名校
10 . (1)化简求值:
;
(2)若
,
,求
的值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4947ab0e3b3eaa7a3d0d16b38e6cd582.png)
(2)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7326ea56be82bd616fec7e6aa3c884c8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/73b3739f2cddb3045d7d39d1f88a2f0f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac767b538138b81695e2636177f5dc14.png)
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