解题方法
1 . 卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用.一般地,对无穷数列,,定义无穷数列,记作,称为与的卷积.卷积运算有如图所示的直观含义,即中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和,易知有交换律.(1)若,,,求,,,;
(2)对,定义如下:①当时,;②当时,为满足通项的数列,即将的每一项向后平移项,前项都取为0.试找到数列,使得;
(3)若,,证明:当时,.
(2)对,定义如下:①当时,;②当时,为满足通项的数列,即将的每一项向后平移项,前项都取为0.试找到数列,使得;
(3)若,,证明:当时,.
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2 . 传输信号会受到各种随机干扰,为了在强干扰背景下提取微弱信号,可用同步累积法.设s是需提取的确定信号的值,每隔一段时间重复发送一次信号,共发送m次,每次接收端收到的信号,其中干扰信号为服从正态分布的随机变量,令累积信号,则Y服从正态分布,定义信噪比为信号的均值与标准差之比的平方,例如的信噪比为,则累积信号Y的信噪比是接收一次信号的( )倍
A. | B.m | C. | D. |
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名校
3 . 以下说法正确的是( )
A.是平面外的一条直线,则过且与平行的平面有且只有一个 |
B.若夹在两个平面间的三条平行线段长度相等,则这两个平面平行 |
C.平面内不共线的三点到平面的距离相等,则 |
D.空间中三点构成边长为2的正三角形,则与这三点距离均为1的平面恰有两个 |
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4 . 南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者,被誉为现代护理学的奠基人.1854年,在克里米亚战争期间,她在接到英国政府的请求后,带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员,并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”.图中圆圈被划分为12个扇形,按顺时针方向代表一年中的各个月份.每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例.扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的死亡,灰色部分代表因战争受伤导致的死亡.右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据,左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据.下列选项正确的为( )
A.由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵 |
B.1854年4月至1855年3月,冬季(12月至来年2月)死亡人数相较其他季节显著增加 |
C.1855年12月之后,因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降 |
D.此玫瑰图可以佐证,通过改善军队和医院的卫生状况,可以大幅度降低不必要的死亡 |
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5 . 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体,围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体,有著名的欧拉公式:,其中为顶点数,为棱数,为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点、棱、面之间的一些数量关系.例如,每个面都是四边形的凸六面体,我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面,每个面有4条边,六个面相加共24条边;另一方面,每条棱出现在两个相邻的面中,因此每条棱恰好被计算了两次,即共有12条棱;再根据欧拉公式,,可以得到顶点数.
(1)已知足球是凸三十二面体,每个面均为正五边形或者正六边形,每个顶点与三条棱相邻,试确定足球的棱数;
(2)证明:个顶点的凸多面体,至多有条棱;
(3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形,且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式,讨论正多面体棱数的所有可能值.
(1)已知足球是凸三十二面体,每个面均为正五边形或者正六边形,每个顶点与三条棱相邻,试确定足球的棱数;
(2)证明:个顶点的凸多面体,至多有条棱;
(3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形,且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式,讨论正多面体棱数的所有可能值.
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6 . 志愿者是一个城市的一道靓丽的风景,他们以自己的行动和热情,为社会做出了积极的贡献,他们是社会进步的推动者,是人类文明的传承者,更是社会和谐的守护者.城市为举办2024年城市马拉松比赛招募了一批志愿者,现从中随机选出200人,并将他们按年龄(单位:岁)进行分组:第1组[15,25),第2组[25,35),第3组,第4组,第5组[55,65],得到如图所示的频率分布直方图.则( )
A.a=0.035 | B.估计众数为:40 |
C.估计平均数为:38 | D.估计第80百分位数为: |
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解题方法
7 . 众所周知,体育锻炼能增强人的体质,陶冶情操,消除疲劳,恢复体力.
(1)经调查每天锻炼2拾分钟,3拾分钟,4拾分钟,5拾分钟,6拾分钟的学生的学习效率指数分别为2.5,3,3.5,5,6,用表示每天的锻炼时间(单位:拾分钟),用表示学习效率指数,由资料知与呈线性相关关系,求关于的线性回归方程;
(2)某班级共40人,其中25人参加篮球训练队,15人参加羽毛球训练队,参加篮球训练队的25人中有15人获得了体能综合测试优秀,参加羽毛球训练队的15人中有10人获得了体能综合测试优秀,依据小概率的独立性检验,试问选择哪种活动与体能综合测试是否优秀有无关联?
参考公式:(1);(2)
(1)经调查每天锻炼2拾分钟,3拾分钟,4拾分钟,5拾分钟,6拾分钟的学生的学习效率指数分别为2.5,3,3.5,5,6,用表示每天的锻炼时间(单位:拾分钟),用表示学习效率指数,由资料知与呈线性相关关系,求关于的线性回归方程;
(2)某班级共40人,其中25人参加篮球训练队,15人参加羽毛球训练队,参加篮球训练队的25人中有15人获得了体能综合测试优秀,参加羽毛球训练队的15人中有10人获得了体能综合测试优秀,依据小概率的独立性检验,试问选择哪种活动与体能综合测试是否优秀有无关联?
参考公式:(1);(2)
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8 . 复平面是人类漫漫数学历史中的一副佳作,他以虚无缥缈的数字展示了人类数学最纯粹的浪漫.欧拉公式可以说是这座数学王座上最璀璨的明珠,相关的内容是,欧拉公式:,其中表示虚数单位,是自然对数的底数.数学家泰勒对此也提出了相关公式:其中的感叹号!表示阶乘,试回答下列问题:
(1)试证明欧拉公式.
(2)利用欧拉公式,求出以下方程的所有复数解.
①;②;
(3)求出角度的倍角公式(用表示,).
(1)试证明欧拉公式.
(2)利用欧拉公式,求出以下方程的所有复数解.
①;②;
(3)求出角度的倍角公式(用表示,).
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9 . 在坐标平面内 的区域,随机生成一个横纵坐标均为整数的一个整点,记该点到坐标原点的距离是随机变量X
相关公式:
(1)当 时,写出X的分布列和期望.
(2)记随机变量 与分别表示 的横纵坐标.
①求出 的期望
②现在实际上选取了四个点尝试运用样本的平均值去估计数学期望,以此来得到估计值 (四舍五入取整).
(3)记方差 ,试证明 .
相关公式:
(1)当 时,写出X的分布列和期望.
(2)记随机变量 与分别表示 的横纵坐标.
①求出 的期望
②现在实际上选取了四个点尝试运用样本的平均值去估计数学期望,以此来得到估计值 (四舍五入取整).
(3)记方差 ,试证明 .
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解题方法
10 . 的角对应边是 a,b,c ,三角形的重心是 O.已知.
(1)求 a 的长.
(2)求的面积.
(1)求 a 的长.
(2)求的面积.
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