1 . 某校为了给高三学生举办“18岁成人礼”活动，由团委草拟了活动方案，并以问卷的形式调查了部分同学对活动方案的评分（满分100分），所得评分统计如图所示.

(1)以频率估计概率，若在所有的学生中随机抽取3人，记评分在的人数为，求的数学期望和方差.
(2)为了解评分是否与性别有关，随机抽取了部分问卷，统计结果如下表所示，则依据的独立性检验，能否认为评分与性别有关？

	男生	女生
评分	30	35
评分	20	15

(3)若将（2）中表格的人数数据都扩大为原来的10倍，则依据的独立性检验，所得结论与（2）中所得结论是否一致？直接给出结论即可，不必书写计算过程.

参考数据：

	0.1	0.05	0.01
	2.706	3.841	6.635

2 . 2024年3月22日国家文物局在北京公布2023年《全国十大考古新发现》，安徽省皖南地区郎溪县磨盘山遗址成功入选并排名第三，经初步确认，该遗址现存马家浜文化区､崧泽文化区､良渚文化区､钱山漾文化区四大区域，总面积约6万平方米.该遗址延续时间长､谱系完整，是长江下游地区少有的连续时间近4000年的中心性聚落.对认识多元化一体中华文明在皖南地区的演进方式具有重要的价值，南京大学历史学院赵东升教授团队现在对该遗址四大区域进行考古发掘，现安排包含甲､乙在内的6名研究生同学到这4个区域做考古志愿者，每人去1个区域，每个区域至少安排1个人，则甲､乙两人安排在相同区域的方法种数为（       ）

A．96

B．144

C．240

D．360

3 . 现有甲､乙两个不透明盒子，都装有1个红球和1个白球，这些球的大小､形状､质地完全相同.
(1)若从甲､乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，次这样的操作后，记甲盒子中红球的个数为.求的分布列与数学期望；
(2)现从甲中有放回的抽取次，每次抽取1球，若抽取次数不超过次的情况下，抽取到2次红球，则停止抽取，一直抽取不到2次红球，第次抽取完也停止抽取，令抽取停止时，抽取的次数为，求的数学期望，并证明：.

4 . 从安徽省体育局获悉：第四届长三角体育节将于4月至9月在安徽省宣城市举办.据介绍，本届体育节以“绿色､健康､融合､共享”为主题，共设置山水生态类､快乐时尚类､传统体育类共21项赛事.下表是4月8日安徽代表队传统跳绳项目8位选手每分钟跳绳个数：

选手	选手1	选手2	选手3	选手4	选手5	选手6	选手7	选手8
个数	141	171	161	147	145	171	170	172

则跳绳个数的第60百分位数是__________.

5 . 在不大于的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的个数记为.
(1)求，的值；
(2)对于，，是否存在m，n，p，使得?若存在，求出m，n，p的值；若不存在，请说明理由；
(3)记表示不超过的最大整数，且，求的值.

6 . 某学校组织一场由老师与学生进行的智力问题比赛，最终由小明同学和唐老师入围决赛，决赛规则如下：
①学生：回答n个问题，每个问题小明回答正确的概率均为；若小明回答错误，可以行使学生权益，即可以进行场外求助，由场外同学小亮帮助答题，且小亮每个问题回答正确的概率均为.
②教师：回答个问题，每个问题唐老师回答正确的概率均为.
假设每道题目答对与否相互独立，最终答对题目多的一方获胜.
(1)若，，记小明同学答对问题（含场外求助答对题数）的数量为X，求X的分布列及数学期望：
(2)若，且小明同学获胜的概率不小于，求p的最小值.

7 . 已知椭圆C：的短轴长为4，过右焦点F的动直线与C交于A，B两点，点A，B在x轴上的投影分别为，（在的左侧）；当直线的倾斜角为时，线段的中点坐标为.
(1)求的方程；
(2)若圆：，判断以线段为直径的圆与圆的位置关系，并说明理由；
(3)若直线与直线交于点M，的面积为，求直线的方程.

8 . 已知椭圆，圆．
(1)点是椭圆的下顶点，点在椭圆上，点在圆上（点异于点），连，直线与直线的斜率分别记作，若，试判断直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
(2)椭圆的左、右顶点分别为点，点（异于顶点）在椭圆上且位于轴上方，连分别交轴于点，点在圆上，求证：的充要条件为轴．

9 . 随着生活水平的不断提高，老百姓对身体健康越来越重视，特别认识到“肥胖是祸不是福”．某校生物学社团在对人体的脂肪含量和年龄之间的相关关系研究中，利用简单随机抽样的方法得到40组样本数据，其中表示年龄，表示脂肪含量，并计算得到，作出散点图，发现脂肪含量与年龄具有线性相关关系，并得到其线性回归方程为．
(1)请求出的值，并估计35岁的小赵的脂肪含量约为多少？
(2)小赵将自己实际的脂肪含量与（1）中脂肪含量的估计值进行比较，发现自己的脂肪含量严重超标，于是他打算进行科学健身来降低自己的脂肪含量，来到健身器材销售商场，看中了甲、乙两款健身器材，并通过售货员得到这两款健身器材的使用年限（整年），如下表所示：

甲款使用年限统计表
使用年限	5年	6年	7年	8年	合计
台数	10	40	30	20	100
乙款使用年限统计表
使用年限	5年	6年	7年	8年	合计
台数	30	40	20	10	100

如果小赵以使用年限的频率估计概率，请根据以上数据估计，小赵应选择购买哪一款健身器材，才能使用更长久？

10 . 直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，与的两条渐近线分别交于两点，从左到右依次排列，则（       ）

A．线段与线段的中点必重合	B．
C．线段的长度不可能成等差数列	D．线段的长度可能成等比数列