1 . 已知圆．点在圆上，延长到，使，点在线段上，满足．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设点在直线上运动，．直线与轨迹分别交于两点，求证：所在直线恒过定点．

2 . 已知双曲线的右顶点到的一条渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)设过点的直线交于两点，过且垂直于轴的直线与直线交于点，证明：以线段的中点为圆心且过坐标原点的圆还过其他定点.

3 . 已知双曲线经过点，直线、分别是双曲线的渐近线，过分别作和的平行线和，直线交轴于点，直线交轴于点，且（是坐标原点）
(1)求双曲线的方程；
(2)设、分别是双曲线的左、右顶点，过右焦点的直线交双曲线于、两个不同点，直线与相交于点，证明：点在定直线上.

4 . 已知函数，其中a为常数，e为自然对数底数，…，若函数有两个极值点，.
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：.

5 . 设函数.
（1）当时恒成立，求k的最大值；
（2）证明：对任意正整数n，不等式恒成立.

6 . 已知函数在点处的切线方程为，
(1)求的值域；
(2)若，且，，证明：①；②.