1 . 设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为．
（1）求证：点的纵坐标为定值；
（2）若求；
（3）已知=，其中，为数列的前项和，若对一切都成立，试求的取值范围．

2 . 已知，且，函数.
（1）求证：；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.

3 . 已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，且的周长为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）若一条直线与椭圆分别交于，两点，且，试问点到直线的距离是否为定值，证明你的结论．

4 . 已知椭圆：的下、上焦点分别为、，直线恰经过椭圆的一个顶点和一个焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一点，求证：直线与轴相交于某定点.

5 . 已知函数，，若在处取得极小值．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求证：．

6 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一点，使得，的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆相交于、两点，直线与椭圆相交于、两点，且、、、四点的横坐标均不相同，若直线与直线的斜率互为相反数，求证：直线和直线的斜率互为相反数．

7 . 设椭圆，定义椭圆的“相关圆”方程为.抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.
（1）求椭圆的方程和“相关圆”的方程；
（2）过“相关圆”上任意一点作“相关圆”的切线与椭圆交于两点，为坐标原点.
（i）证明：为定值；
（ii）连接并延长交“相关圆”于点，求面积的取值范围.

8 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．
（1）设点的坐标为，证明：；
（2）求四边形的面积的最小值．

9 . 已知函数（e为自然对数的底数，a是实数）.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，若对任意的恒成立，求实数a的值；
（3）求证：

10 . 已知椭圆M：，圆N是椭圆M长轴和短轴四个端点连接而成的四边形的内切圆.
（1）求圆N的方程；
（2）过圆N上的任一点A作圆N的切线交椭圆M于B，C两点，求证为定值.