1 . 如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F₁，F₂，A为椭圆C上一点，AF₁与y轴相交于点B，|AB|＝|F₂B|，|OB|＝.

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A₁，A₂，过A₁，A₂分别作x 轴的垂线l₁，l₂，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m(k≠0)与l₁，l₂分别交于M，N两点，求证：∠MF₁N＝∠MF₂N.

2 . 已知函数，满足：①对任意，都有；
②对任意都有．
（1）试证明：为上的单调增函数；
（2）求；
（3）令，试证明：

3 . 已知椭圆：的下、上焦点分别为、，直线恰经过椭圆的一个顶点和一个焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一点，求证：直线与轴相交于某定点.

4 . 已知函数，，若在处取得极小值．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求证：．

5 . 已知函数（e为自然对数的底数，a是实数）.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，若对任意的恒成立，求实数a的值；
（3）求证：

6 . 已知椭圆M：，圆N是椭圆M长轴和短轴四个端点连接而成的四边形的内切圆.
（1）求圆N的方程；
（2）过圆N上的任一点A作圆N的切线交椭圆M于B，C两点，求证为定值.

7 . 已知函数.
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）求证：当时，.

8 . 设椭圆，定义椭圆的“相关圆”方程为.抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.
（1）求椭圆的方程和“相关圆”的方程；
（2）过“相关圆”上任意一点作“相关圆”的切线与椭圆交于两点，为坐标原点.
（i）证明：为定值；
（ii）连接并延长交“相关圆”于点，求面积的取值范围.

9 . 已知f(x)=lnx-x+a+1.
（1）若存在x∈(0，+∞)使得f(x)≥0成立，求a的取值范围；
（2）求证：当x>1时，在（1）的条件下，成立.

10 . 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若存在两个极值点，求证：.