1 . 已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线，分别交椭圆于、、、，且，分别是弦，的中点.
（1）求椭圆的方程.
（2）求证：直线过定点.
（3）求面积的最大值.

2 . 已知函数，(是自然对数的底数).
（1）求在点处的切线方程；
（2）若函数，证明：有极大值，且满足.

3 . 如图，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，以AE为折痕把折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）

（1）证明：；
（2）若线段PC的长为，求二面角的余弦值.

4 . 已知椭圆C：的右焦点，长半轴的长与短半轴的长的比值为2.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设不经过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标.

5 . 已知函数．
（1）若在上是单调函数，求a的取值范围；
（2）证明：当时，．

6 . 已知函数，满足：①对任意，都有；
②对任意都有．
（1）试证明：为上的单调增函数；
（2）求；
（3）令，试证明：

7 . 如图，椭圆的右焦点为，过焦点，斜率为的直线交椭圆于、两点（异于长轴端点），是直线上的动点．

（1）若直线平分线段，求证：．
（2）若直线的斜率，直线、、的斜率成等差数列，求实数的取值范围．

8 . 已知函数.
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）求证：当时，.

9 . 已知数列的首项，前n项和为，且数列是以为公差的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，数列的前n项和为，
①求证：数列为等比数列，
②若存在整数，使得，其中为常数，且，求的所有可能值.

10 . 已知函数，．
（1）讨论函数极值点的个数；
（2）若函数有两个极值点，，证明：．