名校
1 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线，1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程
，其中
为参数．当
时，就是双曲余弦函数
，类似的我们可以定义双曲正弦函数
．它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)求证：
；
(2)对
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
，试比较
与
的大小关系，并证明你的结论.
，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似的我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)求证：
；(2)对
，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)若
，试比较与的大小关系，并证明你的结论.
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2 . 已知动圆
经过定点
，且与圆
：
内切.
(1)求动圆圆心的轨迹
的方程；
(2)设轨迹与
轴从左到右的交点为
，
，点
为轨迹上异于，的动点，设
交直线
于点
，连接
交轨迹于点
，直线
，
的斜率分别为
，
.
①求证：
为定值；
②证明：直线
经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.
经过定点，且与圆：内切.(1)求动圆圆心
的轨迹的方程；(2)设轨迹
与轴从左到右的交点为，，点为轨迹上异于，的动点，设交直线于点，连接交轨迹于点，直线，的斜率分别为，.①求证：
为定值；②证明：直线
经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.
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2024-01-11更新
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628次组卷
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11卷引用：四川省阆中中学校2023届高三全景模拟卷（一）理科数学试题
名校
解题方法
3 . 若函数
满足：对任意的实数
，
，有
恒成立，则称函数为 “
增函数” ．
(1)求证：函数
不是“增函数”；
(2)若函数
是“增函数”，求实数
的取值范围；
(3)设
，若曲线
在
处的切线方程为
，求
的值，并证明函数是“增函数”．
满足：对任意的实数，，有恒成立，则称函数为 “增函数” ．(1)求证：函数
不是“增函数”；(2)若函数
是“增函数”，求实数的取值范围；(3)设
，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”．
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2023-12-21更新
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733次组卷
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5卷引用：四川省屏山县中学校2023-2024学年高二下学期第一次阶段性考试数学试题
四川省屏山县中学校2023-2024学年高二下学期第一次阶段性考试数学试题上海市奉贤区2024届高三一模数学试题（已下线）上海市奉贤区2024届高三一模数学试题变式题16-21重庆市育才中学校2023-2024学年高二下学期三月拔尖强基联盟联合考试巩固测试数学试题（已下线）上海市高二下学期期末真题必刷03（常考题）--高二期末考点大串讲（沪教版2020选修）
名校
4 . 如图，在正方形ABCD中，
.求证：
.
证明：设CE与DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴
，
.
∴
.
∵，∴
.
∴
.∴
.
∴
.∴.
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究
(1)【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E､F､G､H分别在线段AB､BC､CD､DA上，且
.试猜想
的值，并证明你的猜想.
(2)【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，
，
，点E､F､G､H分别在线段AB､BC､CD､DA上，且.则
___________.
(3)【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，
，
，
，点E､F分别在线段AB､AD上，且
.求
的值.
.求证：.证明：设CE与DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴
，.∴
.∵
，∴.∴
.∴.∴
.∴. 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究
(1)【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E､F､G､H分别在线段AB､BC､CD､DA上，且
.试猜想的值，并证明你的猜想.(2)【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，
，，点E､F､G､H分别在线段AB､BC､CD､DA上，且.则___________.(3)【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，
，，，点E､F分别在线段AB､AD上，且.求的值.
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解题方法
5 . 已知函数
．
(1)证明：
时
恒成立；
(2)设
，求证：
．
．(1)证明：
时恒成立；(2)设
，求证：．
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名校
6 . 设
，函数
．
(1)判断
的零点个数，并证明你的结论；
(2)若
，记的一个零点为，若
，求证：
．
，函数．(1)判断
的零点个数，并证明你的结论；(2)若
，记的一个零点为，若，求证：．
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2023-06-02更新
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534次组卷
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5卷引用：四川天府新区太平中学2022-2023学年高二毕业班摸底测试（理科）（一）试题
四川天府新区太平中学2022-2023学年高二毕业班摸底测试（理科）（一）试题福建省福州第三中学2023届高三第二十次质量检测数学试题（已下线）第二章 函数的概念与性质 第十节 函数与方程（B素养提升卷）（已下线）第十节 函数与方程（B素养提升卷）安徽省皖东十校联盟2024届高三上学期第三次月考数学试题
7 . 已知椭圆
：
经过
，
两点，M，N是椭圆上异于T的两动点，且
，直线AM，AN的斜率均存在.并分别记为
，
.
(1)求证：
为常数；
(2)证明直线MN过定点.
：经过，两点，M，N是椭圆上异于T的两动点，且，直线AM，AN的斜率均存在.并分别记为，.(1)求证：
为常数；(2)证明直线MN过定点.
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2023-03-30更新
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925次组卷
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6卷引用：四川省自贡市2023届高三下学期第二次诊断性考试数学（文）试题
名校
8 . 已知函数
（
）.
(1)
，求证：
；
(2)证明：
.(
)
（）.(1)
，求证：；(2)证明：
.()
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2022-11-25更新
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704次组卷
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4卷引用：四川省宜宾市2023届高三上学期第一次诊断性数学（理）数学试题
四川省宜宾市2023届高三上学期第一次诊断性数学（理）数学试题福建省福鼎市第六中学2022-2023学年高三上学期12月月考试数学试题（已下线）专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类（精讲精练）-1黑龙江省鸡西市鸡东县第二中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题
名校
解题方法
9 . 已知椭圆
的离心率为
，设
是C上的动点，以M为圆心作一个半径
的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆C交于点P、Q，若存在圆M与两坐标轴都相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线OP，OQ的斜率都存在且分别为，，求证：为定值；
(3)证明：
为定值？并求
的最大值．
的离心率为，设是C上的动点，以M为圆心作一个半径的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆C交于点P、Q，若存在圆M与两坐标轴都相切．(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线OP，OQ的斜率都存在且分别为
，，求证：为定值；(3)证明：
为定值？并求的最大值．
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2022-12-03更新
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591次组卷
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3卷引用：四川省成都市树德中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学（文）试题
10 . 已知函数
，设曲线在点
处的切线与x轴的交点为
，其中
为正实数．
(1)用
表示
；
(2)求证：对一切正整数n，
的充要条件是
；
(3)若
，记
证明数列
成等比数列，并求数列
的通项公式．
，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，其中为正实数．(1)用
表示；(2)求证：对一切正整数n，
的充要条件是；(3)若
，记证明数列成等比数列，并求数列的通项公式．
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2022-11-23更新
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1069次组卷
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3卷引用：2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（四川卷）
