1 . 已知数列满足：对任意的，若，则，且，设集合，集合A中元素最小值记为，集合A中元素最大值记为，如数列：时，，，.
（1）已知数列：，写出集合及；
（2）求证：不存在，
（3）求的最大值以及的最小值，并说明理由.

2 . 设椭圆，直线，O为坐标原点.
（1）设点在C上，且C的焦距为2，求C的方程；
（2）设l的一个方向向量为，且l与（1）中的椭圆C交于A.B两点，求证： 为常数；
（3）设直线l与椭圆C交于A.B两点，是否存在常数k，使得的值也为常数？若存在，求出k的表达式及的值；若不存在，请说明理由.

3 . 在平面直角坐标系中，点满足方程.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）作曲线关于轴对称的曲线，记为，在曲线上任取一点，过点作曲线的切线，若切线与曲线交于、两点，过点、分别作曲线的切线、，证明：、的交点必在曲线上.

4 . 若无穷数列和无穷数列满足：存在正常数A，使得对任意的，均有，则称数列与具有关系．
（1）设无穷数列和均是等差数列，且，，问：数列与是否具有关系？说明理由；
（2）设无穷数列是首项为1，公比为的等比数列，，，证明：数列与具有关系，并求A的最小值；
（3）设无穷数列是首项为1，公差为的等差数列，无穷数列是首项为2，公比为的等比数列，试求数列与具有关系的充要条件．

5 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，右准线的方程为，A为椭圆C的左顶点，、分别为椭圆C的左，右焦点．

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点作斜率为的直线l交椭圆C于M，N两点（点M在点N的左侧），且．若，求t的值．

6 . 设函数，，，取，，，，则，，的大小关系为________.（用“”连接）

7 . 已知为定义在上的奇函数，且当时，取最大值为1.
（1）写出的解析式.
（2）若，，求证
（ⅰ）；
（ⅱ）.

8 . 新型冠状病毒是一种人传人，而且隐藏至深、不易被人们直觉发现危及人们生命的严重病毒．我们把与这种身带新型冠状病毒（称之为患者）有过密切接触的人群称为密切关联者．已知每位密切关联者通过核酸检测被确诊为阳性后的概率为．一旦被确诊为阳性后即将其隔离．某位患者在隔离之前，每天有 位密切关联者与之接触（而这个人不与其他患者接触），其中被感染的人数为．
（1）求一天内被感染人数的概率的表达式和的数学期望；
（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天内患者无任何症状，则为病毒传播的最佳时间．设每位患者在不知自己患病的情况下的第二天又与位密切关联者接触．从某一名患者被带新型冠状病毒的第1天开始算起，第天新增患者的数学期望记为．
①当，，求的值；
②试分析每位密切关联者佩戴口罩后与患者接触能否降低患病的概率，经大量临床数据验证佩戴口罩后被感染患病的概率满足关系式．当 取得最大值时，计算所对应的和所对应的 值，然后根据计算结果说明佩戴口罩的必要性（取）．
（参考数据：，，， ，，计算结果保留整数）

9 . 设是偶函数，且当时，
（1）当时，求的解析式；
（2）设函数在区间上的最大值为，试求的表达式；
（3）若方程有四个不同的实根，且它们成等差数列，试探求与满足的条件．

10 . 已知曲线（其中为自然对数的底数）在处切线方程为.
（Ⅰ）求，值；
（Ⅱ）证明：存在唯一的极大值点，且.