名校
1 . 如果无穷数列{an}的所有项恰好构成全体正整数的一个排列，则称数列{an}具有性质P．
（Ⅰ）若an
（k∈N*），判断数列{an}是否具有性质P，并说明理由，
（Ⅱ）若数列{an}具有性质P，求证：{an}中一定存在三项ai，aj，ak（i＜j＜k）构成公差为奇数的等差数列；
（Ⅲ）若数列{an}具有性质P，则{an}中是否一定存在四项ai，aj，ak，al，（i＜j＜k＜l）构成公差为奇数的等差数列？证明你的结论．
（Ⅰ）若an
（k∈N*），判断数列{an}是否具有性质P，并说明理由，（Ⅱ）若数列{an}具有性质P，求证：{an}中一定存在三项ai，aj，ak（i＜j＜k）构成公差为奇数的等差数列；
（Ⅲ）若数列{an}具有性质P，则{an}中是否一定存在四项ai，aj，ak，al，（i＜j＜k＜l）构成公差为奇数的等差数列？证明你的结论．
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2014·北京石景山·一模
名校
解题方法
2 . 给定椭圆
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆
的“准圆”.若椭圆的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到
的距离为
.的方程和其“准圆”方程；
（2）点
是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线
交“准圆”于点
.
①当点为“准圆”与
轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明
；
②求证：线段
的长为定值.
，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.
的方程和其“准圆”方程；（2）点
是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.①当点
为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明；②求证：线段
的长为定值.
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2016-12-02更新
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1800次组卷
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8卷引用：北京一零一中学2023届高三下学期开学考数学试题
北京一零一中学2023届高三下学期开学考数学试题（已下线）2014届北京市石景山区高三一模理科数学试卷（已下线）2014届甘肃省兰州一中高考模拟四理科数学试卷（已下线）2014届甘肃省兰州一中高考模拟四文科数学试卷2015-2016学年河北省石家庄一中高二下期中文科数学试卷河北省衡水中学2017届高三高考猜题卷（一）数学（理）试题山西省大同市第一中学2019-2020学年高三下学期模拟（六）数学（理）试题（已下线）微专题07 直线与圆锥曲线的相切问题
名校
3 . 已知
.
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)设
，求
的单调区间；
(3)求证：当
时，
.
.(1)若
，求在处的切线方程；(2)设
，求的单调区间；(3)求证：当
时，.
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2024-03-07更新
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706次组卷
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2卷引用：北京市汇文中学教育集团2023-2024学年高三下学期开学考数学试题
名校
解题方法
4 . 如图，在五面体
中，四边形
是正方形，
是等边三角形，平面
平面，
，
，是
的中点．
平面；
(2)求直线
与平面
所成角的大小；
(3)求三棱锥
的体积．
中，四边形是正方形，是等边三角形，平面平面，，，是的中点．
平面；(2)求直线
与平面所成角的大小；(3)求三棱锥
的体积．
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2024-01-17更新
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346次组卷
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3卷引用：北京市门头沟区大峪中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题
5 . 如图，在Rt
中，
平分
交
于点
为上一点，经过点
的
分别交
于点
.
(1)求证：是的切线；
(2)若
，求的半径；
(3)求证：
.
中，平分交于点为上一点，经过点的分别交于点.(1)求证：
是的切线；(2)若
，求的半径；(3)求证：
.
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名校
6 . 如图，在四面体中，
平面
，点
为棱的中点，
.
(1)证明：
；
(2)求平面
和平面
夹角的余弦值；
(3)在线段
上是否存在一点，使得直线
与平面所成角的正弦值为
？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
中，平面，点为棱的中点，.(1)证明：
；(2)求平面
和平面夹角的余弦值；(3)在线段
上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
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2024-01-18更新
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287次组卷
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2卷引用：北京市八一学校2023-2024学年高三下学期开学摸底考试数学试题
名校
7 . 已知函数
．
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)当
时，求函数在
上的最小值；
(3)写出实数
的一个值，使得
恒成立，并证明．
．(1)求曲线
在处的切线方程；(2)当
时，求函数在上的最小值；(3)写出实数
的一个值，使得恒成立，并证明．
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2024-02-27更新
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794次组卷
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4卷引用：北京市海淀区北京一零一中2023-2024学年高三下学期统考四（开学考）数学试题
8 . 实践操作：
第一步：如图1，将矩形纸片沿过点
的直线折叠，使点
落在
上的点
处，得到折痕
，然后把纸片展平.
第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点
的直线折叠，点恰好落在上的点
处，点
落在点
处，得到折痕
交于点
交于点
，再把纸片展平.
问题解决：
(1)如图1，填空：四边形
的形状是__________.
(2)如图2，线段
与
是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；
(3)如图2，若
，求
的值.
第一步：如图1，将矩形纸片
沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平.第二步：如图2，将图1中的矩形纸片
沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处，得到折痕交于点交于点，再把纸片展平.问题解决：
(1)如图1，填空：四边形
的形状是__________.(2)如图2，线段
与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；(3)如图2，若
，求的值.
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9 . 如图，点为中点，分别延长
到点
到点，使
.以点为圆心，分别以
为半径在上方作两个半圆.点为小半圆上任一点（不与点
重合），连接
并延长交大半圆于点，连接
.
(1)①求证：
；
②写出
和
三者间的数量关系，并说明理由.
(2)若
，当最大时，直接指出
与小半圆的位置关系，并求此时
（答案保留
）.
为中点，分别延长到点到点，使.以点为圆心，分别以为半径在上方作两个半圆.点为小半圆上任一点（不与点重合），连接并延长交大半圆于点，连接.(1)①求证：
；②写出
和三者间的数量关系，并说明理由.(2)若
，当最大时，直接指出与小半圆的位置关系，并求此时（答案保留）.
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名校
10 . 已知集合
，其中
且
，非空集合
，记
为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素
时，
．
(1)若
，写出所有可能的集合B；
(2)若
，且是12的倍数，求集合B的个数；
(3)若
，证明：存在非空集合，使得是
的倍数．
，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，．(1)若
，写出所有可能的集合B；(2)若
，且是12的倍数，求集合B的个数；(3)若
，证明：存在非空集合，使得是的倍数．
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2024-01-20更新
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320次组卷
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2卷引用：北京市北师大附中平谷第一分校2023-2024学年高一下学期2月开学测试数学试题
