名校
1 . 清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在
的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数
.如图，现有
的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角
走到右上角
共有__________ 种不同的走法；若要求从左下角走到右上角的过程中只能在直线
的右下方，但可以到达直线，则有__________ 种不同的走法.
的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数.如图，现有的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角走到右上角共有走到右上角的过程中只能在直线的右下方，但可以到达直线，则有
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解题方法
2 . 已知数列
有30项，
，且对任意
，都存在
，使得
.
（1）
__________ ；（写出所有可能的取值）
（2）数列中，若
满足：存在
使得
，则称具有性质
.若中恰有4项具有性质，且这4项的和为20，则
__________ .
有30项，，且对任意，都存在，使得.（1）
（2）数列
中，若满足：存在使得，则称具有性质.若中恰有4项具有性质，且这4项的和为20，则
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7日内更新
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388次组卷
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2卷引用：湖北省黄冈市黄梅县黄梅县育才高级中学2025届高三上学期9月月考数学试题
名校
3 . 已知有黑、白两种除颜色外完全相同的若干小球，放入三个相同的空箱子中，已知三个箱子中小球的数量之比为
，其中黑球占比分别为
．若从三个箱子中各取一球，则取得的球均为黑球的概率为__________ ；若将三个箱子中的球全倒入一个箱子内，则从中取得一个白球的概率为__________ ．
，其中黑球占比分别为．若从三个箱子中各取一球，则取得的球均为黑球的概率为
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2024-08-07更新
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171次组卷
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2卷引用：天津市南开中学2025届高三上学期统练1数学试题
名校
解题方法
4 . 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为
，则圆台的体积为______ ，若该圆台的上、下底面圆周均在球
的球面上，则球的表面积为______ .
，则圆台的体积为的球面上，则球的表面积为
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名校
解题方法
5 . 已知数列满足
，
，设
，则
____________ ；
的最小值为____________ .
满足，，设，则的最小值为
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7日内更新
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448次组卷
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3卷引用：四川省成都市简阳实验学校（成都石室阳安学校）2025届高三上学期9月月考数学试题
四川省成都市简阳实验学校（成都石室阳安学校）2025届高三上学期9月月考数学试题北京市清华大学附属中学2023-2024学年高二下学期期末数学试题（已下线）4.2.1等差数列的概念 第三练 能力提升拔高
6 . 在正八面体
中，任取四个顶点，则这四点共面的概率为______ ；任取两个面，则所成二面角为钝角的概率为______ ．
中，任取四个顶点，则这四点共面的概率为
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7 . 已知
，
，且
，则
______ ，
的最小值为______ ．
，，且，则的最小值为
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名校
解题方法
8 . 在一个盒子中有2个白球，3个红球，甲､乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取､然后甲再取，…，每次取1个，取后不放回．直到2个白球都被取出来后就停止取球，则2个白球都被乙取出的概率为__________ ；将球全部取出才停止取球的概率为__________ ．
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名校
9 . 设
，函数
，当
时，函数
有______ 个零点；若函数恰有3个零点，则实数
的取值范围为______ ．
，函数，当时，函数有恰有3个零点，则实数的取值范围为
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2024-09-05更新
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407次组卷
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2卷引用：江苏省苏州市相城区陆慕高级中学2025届高三上学期9月第一次考试数学试题
10 . 正实数、
满足：
，且
，则
的取值范围为________ ；实数
的最小值为________ .
、满足：，且，则的取值范围为的最小值为
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