1 . 初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出,后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是:任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和,例如正整数
.设
,其中
均为自然数,则满足条件的有序数组
的个数是__________ .(用数字作答)
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2024-05-04更新
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786次组卷
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3卷引用:湖南师范大学附属中学2024届高三下学期模拟(二)数学试卷
名校
解题方法
2 . 无字证明(proof without words)是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题,如图是某三角恒等式的无字证明,那么该图证明的三角恒等式为__________ .
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/6/14/13cf9ace-987e-45b3-9f16-a17dbcc52b23.png?resizew=435)
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2023-06-13更新
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598次组卷
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2卷引用:湖南师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期第二次大练习数学试题
名校
3 . 科拉茨是德国数学家,他在1937年提出了一个著名的猜想:任给一个正整数
,如果
是偶数,就将它减半(即
);如果
是奇数,则将它乘3加1(即
),不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到1.这是一个很有趣的猜想,但目前还没有证明或否定.如果对正整数
(首项)按照上述规则施行变换后的第8项为1(注:1可以多次出现),则满足条件的
的所有不同值的和为___________ .
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2023-04-03更新
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2292次组卷
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6卷引用:湖南师范大学附属中学2023届高三一模数学试题
解题方法
4 . 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性,并给出了圆锥曲线的统一定义,只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年,到了3世纪,希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中,完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义,并对这一定义进行了证明.他指出,到定点的距离与到定直线的距离的比是常数
的点的轨迹叫做圆锥曲线;当
时,轨迹为椭圆;当
时,轨迹为双曲线.现有关于
方程
表示的曲线是椭圆,则
的取值范围为___________ .
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名校
解题方法
5 . 如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切,设图中球
,球
的半径分别为4和2,球心距离
,截面分别与球
,球
相切于点
(
是截口椭圆的焦点),则此椭圆的离心率等于__________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/23f919bd3dde10dbbc076f7ec5149699.png)
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2022-12-21更新
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3617次组卷
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15卷引用:湖南省常德市临澧县第一中学2022-2023学年高二下学期5月第四阶段检测数学试题
湖南省常德市临澧县第一中学2022-2023学年高二下学期5月第四阶段检测数学试题广东省广州市2023届高三一模数学试题广东省协和、华侨、增城中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题(已下线)专题11 离心率问题速解(精讲精练)-3江苏省南通市海安高级中学2023届高三下学期一模数学试题江苏省南通市海安高级中学2023届高三下学期3月阶段测试(四)数学试题(已下线)“8+4+4”小题强化训练(23)广东省广州市协和中学等三校2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题福建省莆田第二中学、仙游第一中学2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题广东省广州市三校(南实、铁一、广外)2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题(已下线)期末真题必刷常考60题(32个考点专练)-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案(人教A版2019选择性必修第一册)(已下线) 第3章 圆锥曲线的方程单元测试能力卷-2023-2024学年高二数学上学期人教A版(2019)选择性必修第一册(已下线)高二数学第一学期期期末押题密卷02卷(已下线)专题7-2求曲线方程和动点轨迹归类-2江苏省无锡市锡东高级中学2024届高三下学期5月月考数学试题
6 . 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“勾股圆方图”,后人称其为“赵爽弦图”.如图,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知
为线段
的中点,设
为中间小正方形
内一点(不含边界).若
,则
的取值范围为__________ .
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2022-07-02更新
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1748次组卷
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12卷引用:湖南省多所学校2021-2022学年高一下学期期末联考数学试题
湖南省多所学校2021-2022学年高一下学期期末联考数学试题河北省定州市2021-2022学年高一下学期期末数学试题甘肃省白银市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题(已下线)6.3.1平面向量基本定理(精讲)(1)-【精讲精练】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲精练(人教A版2019必修第二册)重难点:平面向量综合检测(提高卷)(已下线)9.3.1 平面向量基本定理-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册)(已下线)第五篇 向量与几何 专题12 等和线 微点2 等和线定理及其应用(二)(已下线)第6章 平面向量初步-【优化数学】单元测试能力卷(人教B版2019)(已下线)专题4-1向量性质与基本定理应用-2(已下线)第一次月考填空题压轴题十四大题型专练-举一反三系列(已下线)高一下学期期中复习填空题压轴题十七大题型专练(1)-举一反三系列(人教A版2019必修第二册)重庆市杨家坪中学2023-2024学年2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题
名校
7 . 英国数学家泰勒发现了公式:
,瑞士大数学家欧拉凭着他非凡的数学洞察力,由此公式得到了下面的无穷级数之和,并最终给出了严格证明.
.
其发现过程简单分析如下:
当
时,有
,
容易看出方程
的所有解为:
,
,
,
,
,
于是方程
可写成:
,
改写成:
.(*)
比较方程(*)与方程
中
项的系数,即可得
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9a587e56ee2a5cacd1aeb0dbfebe656c.png)
__________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/12a658f0755a484c5e8f7582aaa8b119.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6f315b0deed244ff8ecdb4d36343ff17.png)
其发现过程简单分析如下:
当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/38f0e9c04402a0ffdaa25c3e3c82c7dd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/99dd4052ff27824af4d9dee5e6b80920.png)
容易看出方程
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1c4737308cfb053cd90d2215b54f24f9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/576df594a71a0c709598b08e8f5b63d7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/65664d777f406ca00b52acd0146e704c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/07096af3b99fd1cb11c31f19a2c6408e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d3984ec8cb1985f4de682b0770da490a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/07096af3b99fd1cb11c31f19a2c6408e.png)
于是方程
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1c4737308cfb053cd90d2215b54f24f9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2d10bd9b69e397ce254ab7af1ee4403d.png)
改写成:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/211ccc1b5b2568ad503473927372f14e.png)
比较方程(*)与方程
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9e668fb371ced721e763cb78d4da4b19.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9b0a89e3c30f6e4d4c5db4378b05d987.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9a587e56ee2a5cacd1aeb0dbfebe656c.png)
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2021-08-07更新
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904次组卷
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4卷引用:湖南省邵阳市第二中学2021-2022学年高三上学期7月第一次月考数学试题
湖南省邵阳市第二中学2021-2022学年高三上学期7月第一次月考数学试题广东省深圳市2020-2021学年高二下学期期末数学试题(已下线)数学-2022年高考押题预测卷02(新高考卷)(已下线)专题13 泰勒
8 . 阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数
的点的轨迹是圆,后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点
、
间的距离为4,动点
满足
,则动点
的轨迹所围成的图形的面积为___________ ;
最大值是___________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/533d0df0ab043fd32dce4c348c7b30e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f9e8449aad35c5d840a3395ea86df6d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/91c27676db1dadac691fb5f50f6155a5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8a33e5d0dbdd0f15854f0d7dd8b53058.png)
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名校
9 . 已知
,用数学归纳法证明
时,![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca8c81b918419fea27b76d8292da429c.png)
_________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f439d411c9198114a08908fd292b80d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/12ae822627874c0972922d2e8771869e.png)
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2020-12-03更新
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549次组卷
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11卷引用:湖南省长郡中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试题
湖南省长郡中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试题2016-2017河北武邑中学高二上周考9.25文数学试卷2016-2017学年河南省南阳市第一中学高二下学期第一次月考(3月)数学(理)试卷江苏省扬州市邗江中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题人教A版(2019) 选择性必修第二册 过关斩将 第四章 数列 4.4 数学归纳法(已下线)4.4 数学归纳法 A基础练(已下线)专题4.5 数学归纳法(B卷提升篇)-2020-2021学年高二数学选择性必修第二册同步单元AB卷(新教材人教A版,浙江专用)(已下线)【新教材精创】5.5 数学归纳法 -A基础练(已下线)4.4数学归纳法C卷广西钦州市第四中学2021-2022学年高二下学期3月月考数学试题(理科)宁夏回族自治区2023-2024学年高二上学期期末测试数学训练卷(三)(范围:选择性必修第二册 4.1-5.2.2)
名校
解题方法
10 . 阿波罗尼斯(古希腊数学家,约公元前262-190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(
且
)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆现有
,
,
,则当
的面积最大时,它的内切圆的半径为______ .
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/04c525393775354325cbf7839366ca50.png)
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2020-08-06更新
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1348次组卷
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10卷引用:湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期高考模拟(一)文科数学试题
湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期高考模拟(一)文科数学试题(已下线)2.1+曲线与方程(2)(重点练)-2020-2021学年高二数学(理)十分钟同步课堂专练(人教A版选修2-1)湘豫名校2020届高三联考(6月)数学(文科)试题江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期期初数学试题江苏省南京市2020-2021学年高二上学期期中模拟数学试题(已下线)第九单元 解析几何 (A卷 基础过关检测)-2021年高考数学(文)一轮复习单元滚动双测卷湖北省十堰市城区普高协作体2020-2021学年高二上学期期中数学试题四川省成都市金牛区第十八中学校2020-2021学年高二上学期10月月考数学理试题安徽省马鞍山市第二中学2020-2021学年高二上学期12月月考理科数学试题(已下线)专题12 正余弦定理妙解三角形问题和最值问题(练习)