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1 . 我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形,如图1,在一个棱长为2r的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱,其相交的部分就是牟合方盖(如图2),我国南北朝时期数学家祖暅基于“势幂既同则积不容异”这一观点和对牟合方盖性质的研究,推导出了球体体积公式.设平行于水平面且与水平面距离为的平面为,则平面截牟合方盖所得截面的形状为______ (填“正方形”或“圆形”),设半径为r的球体体积为,图2所示牟合方盖体积为,则______ .
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2 . 中国古典数学先后经历了三次发展高潮,即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期,并在宋元时期达到顶峰,而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物.作为秦九韶的集大成之作,《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般.可以说,但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方,《数书九章》一书皆有所涉及,例如“验米夹谷”问题:今有谷3318石,抽样取谷一把,数得168粒内有秕谷22粒,则粮仓内的秕谷约为________ 石(结果四舍五入取整数).
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3 . “不以规矩,不能成方圆”出自《孟子・离娄章句上》.“规”指圆规,“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺,是古人用来测量、画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载(如图(1))今有一块圆形木板,以“矩”量之,如图(2).若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板,且这块四边形木板的一个内角满足,则这块四边形木板周长的最大值为______ (单位:厘米)
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4 . 下图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第n行有n个数且两端的数均为,每个数是它下一行左右相邻两数之和,如,,,则第11行第5个数(从左往右数)为________ .
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5 . 三星堆古遗址作为“长江文明之源“,被誉为人类最伟大的考古发现之一.3号坑发现的神树纹玉琮,为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器,有学者认为其外方内圆的构造,契合了古代“天圆地方”观念,是天地合一的体现,如图,假定某玉琮形状对称,由一个空心圆柱及正方体构成,且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面,圆柱的高为12cm,圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O上,则球O的表面积为 _________
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6 . “文翁千载一时珍,醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹.李时珍是湖北省蕲春县人,明代著名医药学家.他历经27个寒暑,三易其稿,完成了192万字的巨著《本草纲目》,被后世尊为“药圣”.为纪念李时珍,人们在美丽的蕲春县独山修建了一座雕像,如图所示.某数学学习小组为测量雕像的高度,在地面上选取共线的三点A、B、C,分别测得雕像顶的仰角为,且米,则雕像高为_____________ 米.
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7 . 在我国南穼数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表,即杨辉三角.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究,第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为________ ,第2024行的第________ 个数最大.
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8 . 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔・德・费马提出的一个著名的几何问题:“已知一个三角形,求作一点,使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”,意大利数学家托里拆利给出了解答,当的三个内角均小于时,使得的点即为费马点;当有一个内角大于或等于时,最大内角的顶点为费马点.已知,,分别是三个内角,,的对边,且,若点为的费马点,,则实数的取值范围为________ .
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9 . 《缀术》中提出的“缘幂势既同,则积不容异”被称为祖暅原理,其意思是:如果两个等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等,那么这两个几何体的体积相等.该原理常应用于计算某些几何体的体积.如图,某个西晋越窑卧足杯的上下底为互相平行的圆面,侧面为球面的一部分,上底直径为,下底直径为6cm,上下底面间的距离为3cm,则该卧足杯侧面所在的球面的半径是__________ cm;卧足杯的容积是____________ (杯的厚度忽略不计)
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10 . 一般地,对任意角,在平面直角坐标系中,设的终边上异于原点的任意一点P的坐标为,它与原点的距离是.我们规定:比值,,分别叫做角的余切、余割、正割,分别记作,,,即,,,把,,分别叫做余切函数、余割函数、正割函数.
(1)已知,则的最大值为_______ ;
(2)设,则的最小值为________ .
(1)已知,则的最大值为
(2)设,则的最小值为
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