1 . 已知．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)请严格证明曲线有唯一交点；
(3)对于常数，若直线和曲线共有三个不同交点，其中，求证：成等比数列．

2 . 若函数满足：对任意的实数，，有恒成立，则称函数为 “增函数” ．
(1)求证：函数不是“增函数”；
(2)若函数是“增函数”，求实数的取值范围；
(3)设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”．

3 . 已知动圆经过定点，且与圆：内切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设轨迹与轴从左到右的交点为，，点为轨迹上异于，的动点，设交直线于点，连接交轨迹于点，直线，的斜率分别为，.
①求证：为定值；
②证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.

4 . 如图，四棱锥P­ABCD中，侧面PAD是正三角形，底面ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，M为PC的中点．
(1)求证：PC⊥AD.
(2)在棱PB上是否存在一点Q，使得A，Q，M，D四点共面？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由．

5 . 已知二次函数（均为实数），满足，对于任意实数都有，并且当时，有.
（1）求的值；并证明：；
（2）当且取得最小值时，函数（为实数）单调递增，求证：.

6 . 已知数列满足，
（1）求，，，；
（2）归纳猜想出通项公式，并且用数学归纳法证明；
（3）求证能被15整除．

7 . （1）已知，求证：
（2）证明：若均为实数，且，，，求证：中至少有一个大于0．

8 . 已知数列满足，
（1）求，，，；
（2）归纳猜想出通项公式，并且用数学归纳法证明；
（3）求证能被15整除．

9 . 用适当方法证明：已知：，，求证：．

10 . 设数列的前项和为,满足,,且，，成等差数列.
(1)求，的值;
(2) 是等比数列
(3)证明:对一切正整数,有.