1 . 微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下:
如果函数在闭区间上连续，在开区间可导，导数为，那么在开区间内至少存在一点，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.已知函数.
(1)若，求函数在上的“拉格朗日中值点”；
(2)若，求证:函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于；
(3)若，且，求证:.

2 . 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比．已知椭圆：与椭圆：相似．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左、右顶点，的一点．
①当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值；
②当时，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的值．

3 . 南北朝时期的伟大科学家祖暅，于五世纪末提出了体积计算原理，即祖暅原理：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么，这两个几何体的体积相等.其最著名之处是解决了“牟合方盖”的体积问题.如图所示，正方体，棱长为.

(1)求图中四分之一圆柱体的体积；
(2)在图中画出四分之一圆柱体与四分之一圆柱体的一条交线（不要求说明理由）；
(3)四分之一圆柱体与四分之一圆柱体公共部分是八分之一个“牟合方盖”.点在棱上，设.过点作一个与正方体底面平行的平面，求该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积；
(4)如果令，求出八分之一“牟合方盖”的体积.

4 . 一对夫妻计划进行为期60天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;②若前一天由丈夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为,由妻子驾车的概率为;③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为．
(1)在刚开始的三天中,妻子驾车天数的概率分布列和数学期望;
(2)设在第n天时,由丈夫驾车的概率为,求数列的通项公式．

5 . 数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017-2021年中国在线直播用户规模（单位：亿人），其中2017年-2021年对应的代码依次为1-5.

年份代码x	1	2	3	4	5
市场规模y	3.98	4.56	5.04	5.86	6.36

(1)由上表数据可知，可用函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（，的值精确到0.01）；
(2)已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物与不在品牌官方直播间购物的人数之比为4：1，按照分层抽样从这两类用户中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人全是选择在品牌官方直播间购物用户的概率.
参考数据：，，，其中.
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

6 . 位于灯塔处正西方向相距的处有一艘甲船，需要海上加油.位于灯塔处北偏东有一与灯塔相距的乙船（在处）.求乙船前往支援处的甲船航行的距离和方向（角度精确到）.