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解题方法
1 . 下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图(1)是一个面积为1的实心正三角形,分别连接这个正三角形三边的中点,将原三角形分成4个小正三角形,并去掉中间的小正三角形得到图(2),再对图(2)中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图(3),再对图(3)中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图(4),…,依此类推得到个图形.记第个图形中实心三角形的个数为,第n个图形中实心区域的面积为.(1)写出数列和的通项公式;
(2)设,证明.
(2)设,证明.
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2 . 算盘是我国古代一项伟大的发明,是一类重要的计算工具.如图,算盘多为木制,内嵌有九至十五根直杆(简称档),自右向左分别表示个位、十位、百位、……,梁上面一粒珠子(简称上珠)代表5,梁下面一粒珠子(简称下珠)代表1,五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如,个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上,表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上,设事件“表示的三位数能被5整除”,“表示的三位数能被3整除”.(1)求事件A,B的概率.
(2)求事件、的概率.
(2)求事件、的概率.
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2024-09-15更新
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154次组卷
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2卷引用:四川省新高考联盟校级2025届高三九月适应考数学试题
解题方法
3 . 2024年6月25日14时07分,嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域,工作正常,标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功,实现了世界首次月球背面采样返回.某学校为了了解学生对探月工程的关注情况,随机从该校学生中抽取了一个容量为90的样本进行调查,调查结果如下表:
(1)完成上述列联表,依据该统计数据,能否有的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关?
(2)为了激发同学们对探月工程的关注,该校举办了一次探月知识闯关比赛,比赛有两个答题方案可供选择:
方案一:回答4个问题,至少答对3个问题才能晋级;
方案二:在4个问题中随机选择2个问题作答,都答对才能晋级.
已知振华同学答对这4个问题的概率分别为,振华同学回答这4个问题正确与否相互独立,则振华选择哪种方案晋级的可能性更大?
附:
关注 | 不关注 | 合计 | |
男生 | 55 | 60 | |
女生 | |||
合计 | 75 |
(2)为了激发同学们对探月工程的关注,该校举办了一次探月知识闯关比赛,比赛有两个答题方案可供选择:
方案一:回答4个问题,至少答对3个问题才能晋级;
方案二:在4个问题中随机选择2个问题作答,都答对才能晋级.
已知振华同学答对这4个问题的概率分别为,振华同学回答这4个问题正确与否相互独立,则振华选择哪种方案晋级的可能性更大?
附:
0.1 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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2025高三·全国·专题练习
解题方法
4 . 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马中,侧棱底面ABCD,且,点E是的中点,连接、、.证明:平面.试判断四面体是否为鳖臑.若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由.
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2025高三·全国·专题练习
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5 . 《九章算术》中有这样一段话:“斜解立方,得两堑堵,斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑”,这里所谓的“阳马”,就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,四棱锥为阳马,底面,分别为的中点.(1)证明:平面;
(2)证明:平面;
(2)证明:平面;
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6 . 在《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,已知阳马中,侧棱底面;且,在的中点中选择一个记为点,使得四面体为鳖臑.(1)确定点的位置,并证明四面体为鳖臑;
(2)若底面是边长为1的正方形,求平面与平面夹角的余弦值.
(2)若底面是边长为1的正方形,求平面与平面夹角的余弦值.
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7 . 某射击队员进行打靶训练,每次是否命中十环相互独立,且每次命中十环的概率为0.9,现进行了n次打靶射击,其中打中十环的数量为.
(1)若,求恰好打中4次十环的概率(结果保留两位有效数字);
(2)要使的值最大,求n的值;
(3)设随机变量X的数学期望及方差都存在,则,,,这就是著名的切比雪夫不等式.对于给定的随机变量,其方差如果存在则是唯一确定的数,所以该不等式告诉我们:的概率必然随的变大而缩小.为了至少有90%的把握使命中十环的频率落在区间,请利用切比雪夫不等式估计射击队员打靶次数n的最小值.
(1)若,求恰好打中4次十环的概率(结果保留两位有效数字);
(2)要使的值最大,求n的值;
(3)设随机变量X的数学期望及方差都存在,则,,,这就是著名的切比雪夫不等式.对于给定的随机变量,其方差如果存在则是唯一确定的数,所以该不等式告诉我们:的概率必然随的变大而缩小.为了至少有90%的把握使命中十环的频率落在区间,请利用切比雪夫不等式估计射击队员打靶次数n的最小值.
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8 . 克罗狄斯·托勒密(Ptolemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家,他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理,其中涉及如下定理:任意凸四边形中,两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和,当且仅当对角互补时取等号. 如图,半圆的直径为2cm,为直径延长线上的点,2 cm,为半圆上任意一点,且三角形为正三角形. (1)当时,求四边形的周长;
(2)当在什么位置时,四边形的面积最大,并求出面积的最大值;
(3)若与相交于点,则当线段的长取最大值时,求的值.
(2)当在什么位置时,四边形的面积最大,并求出面积的最大值;
(3)若与相交于点,则当线段的长取最大值时,求的值.
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2024-07-11更新
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514次组卷
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3卷引用:拔高点突破01 三角函数与解三角形背景下的新定义问题(十大题型)
(已下线)拔高点突破01 三角函数与解三角形背景下的新定义问题(十大题型)浙江省丽水市2023-2024学年高一下学期6月期末教学质量监控数学试题河南省部分学校2023-2024学年高一下学期联合教学质量检测数学试卷
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9 . 如图,已知四面体中,平面,.(1)求证:;
(2)若在此四面体中任取两条棱作为一组(和视为同一组),则它们互相垂直的组数记为;任取两个面作为一组(和视为同一组),则它们互相垂直的组数记为;任取一个面和不在此面上的一条棱作为一组(和视为同一组),则它们互相垂直的组数记为,试求的值;
(3)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.若此“鳖臑”中,,,有一根彩带经过平面与平面,且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处,求彩带的最小长度.
(2)若在此四面体中任取两条棱作为一组(和视为同一组),则它们互相垂直的组数记为;任取两个面作为一组(和视为同一组),则它们互相垂直的组数记为;任取一个面和不在此面上的一条棱作为一组(和视为同一组),则它们互相垂直的组数记为,试求的值;
(3)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.若此“鳖臑”中,,,有一根彩带经过平面与平面,且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处,求彩带的最小长度.
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10 . “阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体,即其底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,四边形是边长为3的正方形,,.(1)证明:四棱锥是一个“阳马”;
(2)已知点在线段上,且,若二面角的余弦值为,求的值.
(2)已知点在线段上,且,若二面角的余弦值为,求的值.
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2024-06-20更新
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410次组卷
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3卷引用:四川省成都外国语学校2024届高三高考模拟(六)理科数学试题