1 . 已知正整数，集合，，，，，，2，，．对于中的元素，，，，，，定义．令．
(1)直接写出的两个元素及的元素个数；
(2)已知，，，，满足对任意，都有，求的最大值；
(3)证明：对任意，，，，总存在，使得．

2 . 已知首项为1的数列满足.
(1)若，在所有中随机抽取2个数列，记满足的数列的个数为，求的分布列及数学期望；
(2)若数列满足：若存在，则存在且，使得.
（i）若，证明：数列是等差数列，并求数列的前项和；
（ii）在所有满足条件的数列中，求使得成立的的最小值.

3 . 定理：如果函数在闭区间上的图象是连续不断的曲线，在开区间内每一点存在导数，且，那么在区间内至少存在一点，使得这是以法国数学家米歇尔·罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用．
(1)设，记的导数为，试用上述定理，说明方程根的个数，并指出它们所在的区间；
(2)如果在闭区间上的图象是连续不断的曲线，且在开区间内每一点存在导数，记的导数为，试用上述定理证明：在开区间内至少存在一点，使得；
(3)利用（2）中的结论，证明：当时，．（e为自然对数的底数）

4 . 已知动圆的圆心在轴上，且该动圆经过点．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设过点的直线交轨迹于两点，若为轨迹上位于点之间的一点，点关于轴的对称点为点，过点作，交于点，求的最大值．

5 . 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于点，，面积的最小值为（为坐标原点）.按照如下方式依次构造点：的坐标为，直线，与的另一个交点分别为，，直线与轴的交点为，设点的横坐标为.
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式；
(3)数列中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不存在，请说明理由.

6 . 已知函数，
(1)判断的单调性．
(2)求函数，的值域．
(3)证明，．

7 . 如图1，由射线PA、PB、PC构成的三面角，，，，二面角的大小为，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：．

(1)如图2，在三棱锥中，点M是点B在平面APC中的投影，，连接MD，，，，，．
①求平面APC与平面BPC所成的角的正弦值；
②求三棱锥体积的最大值；
(2)当、、时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理．

8 . 对于平面向量，定义“变换”：，
(1)若向量，，求；
(2)求证：；
(3)已知，，且与不平行，，，求证：．

9 . 给定正整数，数组称为“好数组”是指：均不为，且对任意的，均有．求“好数组”的组数．

10 . 已知为正实数，若曲线与椭圆交于两个不同的点，求证：直线的斜率．