1 . 设点为抛物线上的动点，是抛物线的焦点，当时，．

（1）求抛物线的方程；
（2）过点作圆：的切线，，分别交抛物线于点．当时，求面积的最小值．

2 . 已知函数，.
（1）求证：存在唯一的实数，使得直线与曲线相切；
（2）若，，求证：.
（注：为自然对数的底数.）

3 . 若函数恰有两个不同极值点.
（1）求的取值范围；
（2）求证：.

4 . 已知函数（其中e是自然对数的底数，a，）在点处的切线方程是.
（1）求函数的单调区间.
（2）设函数，若在上恒成立，求实数m的取值范围.

5 . 已知函数.
求函数在处的切线方程；
若在，处导数相等，证明：.
若对于任意，直线与函数图象都有唯一公共点，求实数的取值范围.

6 . 如图，已知抛物线的焦点为.

若点为抛物线上异于原点的任一点，过点作抛物线的切线交轴于点，证明：.
，是抛物线上两点，线段的垂直平分线交轴于点 (不与轴平行)，且.过轴上一点作直线轴，且被以为直径的圆截得的弦长为定值，求面积的最大值.

7 . 如图，设点是抛物线的焦点，直线与抛物线相切于点（点位于第一象限），并与抛物线的准线相交于点．过点且与直线垂直的直线交抛物线于另一点，交轴于点，连结．

（1）证明：为等腰三角形；
（2）求面积的最小值．

8 . 已知函数，，其中，且．
（1）求在上的最大值；
（2）若对任意的及恒成立，求实数的取值范围．
注：是自然对数的底数．

9 . 如图，已知抛物线的标准方程为，其中为坐标原点，抛物线的焦点坐标为，为抛物线上任意一点（原点除外），直线过焦点交抛物线于点，直线过点交抛物线于点，连结并延长交抛物线于点．

（1）若弦的长度为8，求的面积；
（2）求的最小值．

10 . 已知正实数，设函数．
（1）若时，求函数在的值域；
（2）对任意实数均有恒成立，求实数的取值范围．